[论文解读] Riemann-Roch Theorems for Deligne-Mumford Stacks

Bertrand Toën|ArXiv.org|Mar 17, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 5

一句话总结

本文通过引入具有表示论系数的上同调理论及相应的陈类特征，建立了关于Deligne-Mumford堆栈的黎曼-罗赫定理。证明了与该框架相关的黎曼-罗赫变换的格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，从而导出了相干层的欧拉示性数的希尔泽布鲁赫-黎曼-罗赫公式，以及复代数堆栈的拓扑欧拉示性数的公式。

ABSTRACT

The goal of this paper is to prove Riemann-Roch type theorems for Deligne-Mumford algebraic stacks. To this end, we introduce a "cohomology with coefficients in representations" and a Chern character, and we prove a Grothendieck-Riemann-Roch theorem for the Riemann-Roch transformation it defines. As a corollary we obtain an Hirzebruch-Riemann-Roch formula for the Euler characteristic of a coherent sheaf, and some formulas for the different topological Euler characteristics of complex algebraic stacks.

研究动机与目标

• 将黎曼-罗赫理论推广至Deligne-Mumford堆栈，后者是代数空间的推广，在模理论中具有核心地位。
• 定义一种具有堆栈结构群表示论系数的上同调理论，以处理对象的堆栈性质。
• 构建一个与该上同调兼容的陈类特征映射，用于黎曼-罗赫型定理。
• 为该框架所定义的黎曼-罗赫变换建立格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。
• 推导出相干层的欧拉示性数及复代数堆栈的拓扑不变量的明确公式。

提出的方法

• 引入一种取值于堆栈结构群表示论的新型上同调理论。
• 从K-理论到该上同调定义陈类特征映射，推广经典陈类特征。
• 构建从K-理论到上同调的黎曼-罗赫变换，此为本研究的核心对象。
• 证明该变换的格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，将K-理论中的推出与上同调中的推出联系起来。
• 将主定理应用于推导出Deligne-Mumford堆栈上相干层的欧拉示性数的希尔泽布鲁赫-黎曼-罗赫公式。
• 利用黎曼-罗赫机制推导复代数堆栈的不同拓扑欧拉示性数的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼-罗赫定理如何推广至非概形的Deligne-Mumford堆栈？
• RQ2 为捕捉堆栈不变量，需要何种具有表示论系数的上同调理论？
• RQ3 在堆栈背景下，如何定义陈类特征以支持黎曼-罗赫定理？
• RQ4 在此新设定下，黎曼-罗赫变换的格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式是什么？
• RQ5 该框架对计算复代数堆栈的欧拉示性数与拓扑不变量有何影响？

主要发现

• 为通过表示论系数上同调在Deligne-Mumford堆栈上定义的黎曼-罗赫变换，建立了格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。
• 推导出Deligne-Mumford堆栈上相干层的欧拉示性数的显式希尔泽布鲁赫-黎曼-罗赫公式。
• 本文提供了复代数堆栈的不同拓扑欧拉示性数的公式，将经典不变量推广至堆栈情形。
• 陈类特征映射以尊重堆栈结构的方式构建，从而支持黎曼-罗赫机制。
• 证明了具有表示论系数的上同调是代数堆栈背景下黎曼-罗赫定理的合适框架。
• 结果适用于复代数堆栈，且通过变换框架适用于正规与非正规态射。