[论文解读] Riemann-Roch theorems via deformation quantization

Paul Bressler, Ryszard Nest+1 more|ArXiv.org|May 13, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文通过使用形变量子化、Hochschild同调与循环同调，以及Dennis迹和Goodwillie-Jones映射，为辛流形上函数的形变量子化代数上的完美复形建立了黎曼-罗赫定理。关键结果是一个公式，将欧拉类表示为陈特征、$\hat{A}$-类与形变的特征类的乘积，从而证明了Schapira与Schneiders的猜想。

ABSTRACT

We give a proof of a conjecture of P. Schapira and J.-P. Schneiders on the characteristic classes of D-modules.

研究动机与目标

• 为辛流形上函数的形变量子化代数上的完美复形建立黎曼-罗赫定理。
• 证明Schapira与Schneiders（猜想2.2.2）关于完美复形的欧拉类与陈特征、$\hat{A}$-类及形变特征类之间关系的猜想。
• 通过Dennis迹与Goodwillie-Jones映射的层化构造，为一个概形上的代数层的层构造局部陈特征。
• 通过周期循环上同调与Fedosov联络，将全局黎曼-罗赫定理约化为Weyl代数的局部陈述。

提出的方法

• 通过Dennis迹映射与Goodwillie-Jones映射的层化，为概形上代数层的完美复形定义欧拉类与陈特征。
• 将完美复形的全局黎曼-罗赫定理由欧拉类约化为辛流形上函数形变代数的周期循环链的黎曼-罗赫定理。
• 应用在[NT1]、[NT2]中建立的、基于[FT2]思想的Weyl代数的周期循环链的局部黎曼-罗赫定理。
• 利用Gel’fand-Fuchs映射，将辛向量空间形式邻域上的上同调类与全流形上的上同调类联系起来，从而将定理7.6.1与定理6.1.1联系起来。
• 利用李代数上同调的Chern–Weil构造与周期循环上同调的非交换微分微分学，证明局部结果。
• 通过Gel’fand-Fuchs映射建立微分形式复形与平坦联络的核复形之间的同构，从而实现上循环的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用拓扑不变量与特征不变量表达形变量子化代数上完美复形的欧拉类？
• RQ2 能否通过形变量子化证明Schapira与Schneiders关于欧拉类与陈特征、$\hat{A}$-类及形变类之间关系的猜想？
• RQ3 周期循环上同调在Weyl代数的局部黎曼-罗赫定理公式化中起什么作用？
• RQ4 Gel’fand-Fuchs映射如何将辛向量空间形式邻域上的上同调类与全流形上的上同调类联系起来？
• RQ5 特征上循环在Gel’fand-Fuchs映射下的精确像为何种周期循环复形之间的态射？

主要发现

• 本文证明了Schapira与Schneiders的猜想2.2.2，为形变量子化代数上完美复形的欧拉类建立了黎曼-罗赫公式。
• 欧拉类被表达为符号复形的陈特征、流形的$\hat{A}$-类与形变量子化的特征类的乘积。
• 通过Gel’fand-Fuchs映射，建立了Weyl代数的局部黎曼-罗赫定理（定理6.1.1），该映射将形式邻域上的上同调类与全流形上的上同调类联系起来。
• 上循环$\tilde{\mu}^{\hbar} \smile \iota - \tilde{\mu} \smile \widehat{A} \smile e^{\theta} \smile \sigma$在Gel’fand-Fuchs映射下的像是态射$\iota \circ \tilde{\mu}^{\hbar}_{\mathbb{A}} - (\tilde{\mu}_{\mathcal{O}} \widehat{A} \smile e^{\theta}) \circ \sigma$，从而确认了特征类的一致性。
• 形变量子化的特征类$\theta$被实现为李代数上同调类在Gel’fand-Fuchs映射下的像，从而与Fedosov联络的曲率联系起来。
• 切丛的$\widehat{A}$-类被确认为Chern–Weil同态在Gel’fand-Fuchs映射下的像，从而确认了其几何起源。