[论文解读] Riemannian cubics on the group of diffeomorphisms and the Fisher-Rao metric

Rabah Tahraoui, François‐Xavier Vialard|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了在 [0,1] 的微分同胚群上配备二阶右不变 Sobolev 度量的黎曼三次曲线——即加速度最小的曲线。通过计算加速度泛函的松弛，作者确定 Fisher-Rao 泛函在缺陷测度中起核心作用，证明了极小化子的存在性，并通过 Riccati 方程推导出充分最优性条件，从而解决了无限维设定下的存在性与正则性问题。

ABSTRACT

We study a second-order variational problem on the group of diffeomorphisms of the interval [0, 1] endowed with a right-invariant Sobolev metric of order 2, which consists in the minimization of the acceleration. We compute the relaxation of the problem which involves the so-called Fisher-Rao functional a convex functional on the space of measures. This relaxation enables the derivation of several optimality conditions and, in particular, a sufficient condition which guarantees that a given path of the initial problem is also a minimizer of the relaxed one. This sufficient condition is related to the existence of a solution to a Riccati equation involving the path acceleration.

研究动机与目标

• 在 [0,1] 的无限维微分同胚群上，针对二阶右不变 Sobolev 度量，建立黎曼三次曲线的存在性与正则性。
• 解决无限维黎曼几何中高阶变分问题缺乏存在性结果的问题，特别是在医学影像与形状分析的背景下。
• 推导加速度泛函的松弛形式，通过 Fisher-Rao 泛函引入缺陷测度，实现弱收敛性并保证极小化子的存在性。
• 为原始问题中的路径提供一个充分最优性条件，使其同样最小化松弛后的泛函，该条件通过涉及路径加速度的 Riccati 方程求解。

提出的方法

• 作者使用拉格朗日坐标重新表述 Diff₀²([0,1]) 上右不变度量的测地线方程，确保从光滑端点出发的测地线具有正则性。
• 应用哈密顿形式推导微分同胚群中加速度泛函的二阶动力学方程。
• 通过弱极限计算加速度泛函的松弛，导致 Fisher-Rao 泛函作为测度空间上的凸泛函出现。
• 缺陷测度源于二阶导数的弱收敛，Fisher-Rao 泛函量化了其在松弛问题中的贡献。
• 利用凸分析推导标准最优性条件，并在缺陷测度变量上获得弱严格凸性结果。
• 通过将路径加速度与 Riccati 方程关联，推导出充分最优性条件，确保该方程的解可使松弛问题的泛函最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维设定下，对于 [0,1] 的微分同胚群上配备二阶右不变 Sobolev 度量的黎曼三次曲线问题，极小化子是否存在？
• RQ2 如何对加速度泛函进行松弛，以在缺乏强紧致性的情况下实现弱收敛并保证极小化子的存在性？
• RQ3 Fisher-Rao 泛函在表征二阶导数弱极限所产生的缺陷测度中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，原始哈密顿系统的一个解也是松弛泛函的极小化子？
• RQ5 涉及路径加速度的 Riccati 方程能否作为松弛问题中最优性的充分条件？

主要发现

• 加速度泛函的松弛导致一个新公式，其中 Fisher-Rao 泛函作为缺陷测度的凸惩罚项，这些缺陷测度源于二阶导数的弱极限。
• 在路径与缺陷测度的乘积空间中，极小化子的存在性得到保证，从而解决了无限维设定下的存在性问题。
• 推导出充分最优性条件：若一条路径满足涉及其加速度的 Riccati 方程，则它最小化松弛后的泛函。
• 作者构造了原始泛函的临界点的显式例子，这些例子并非松弛泛函的极小化子，从而证明了松弛方法的必要性。
• 该问题在缺陷测度变量上表现出弱严格凸性，确保了松弛公式中极小化子的唯一性。
• 本文提供了拉格朗日坐标下测地线正则性的简洁证明，表明端点的光滑性可推出测地线的光滑性。