[论文解读] Riemannian foliations on contractible manifolds

Luis A. Florit, Oliver Goertsches+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文证明了在完备、单连通、有理同伦收缩的流形上的黎曼叶状结构——尤其是同伦收缩的情形——必须至少存在一个闭叶，且若存在一个闭叶其基本群有限生成，则所有叶均为闭叶。在非负曲率或有界性等附加几何或拓扑条件下，叶状结构变为简单叶状结构，即源自黎曼子丛。

ABSTRACT

We prove that Riemannian foliations on complete contractible manifolds have a closed leaf, and that all leaves are closed if one closed leaf has a finitely generated fundamental group. Under additional topological or geometric assumptions we prove that the foliation is also simple.

研究动机与目标

• 将Ghys关于黎曼叶状结构的结果从紧致情形推广至非紧致、完备、同伦收缩的流形。
• 研究黎曼叶状结构在同伦收缩流形上是否必然为简单叶状结构，即是否由黎曼子丛给出。
• 确定所有叶均为闭叶且商空间为有理同伦收缩的条件。
• 分析叶的同伦与上同调性质，特别是其万有覆盖。
• 探讨此类叶状结构中非同伦收缩但有理同伦收缩的叶的存在性与结构。

提出的方法

• 使用抽象的拓扑方法，特别是等变上同调与Borel构造，分析完备流形上叶状结构的结构。
• 应用H-空间理论与有理同伦论研究闭叶万有覆盖的性质。
• 利用等变上同调环的Krull维数，将稳定子子群的秩与叶状结构的几何联系起来。
• 运用灵魂定理与曲率假设（非负截面曲率）将问题约化至有界性情形。
• 利用Noether定理关于固定点代数的有限性结果，以及有限群作用在上同调环上的性质。
• 利用球面的局部化与挠化构造（如$T(S^3)$）生成反例并检验猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完备、同伦收缩的黎曼流形上的黎曼叶状结构至少存在一个闭叶？
• RQ2 每个完备同伦收缩流形上的黎曼叶状结构是否都是简单的，即是否为黎曼子丛？
• RQ3 若一个闭叶的基本群有限生成，则所有叶是否都为闭叶？
• RQ4 非同伦收缩但有理同伦收缩的流形是否可能作为同伦收缩流形上黎曼叶状结构的叶出现？
• RQ5 曲率（如非负截面曲率）在确保此类叶状结构的简单性方面起何作用？

主要发现

• 每个完备、单连通、有理同伦收缩流形上的黎曼叶状结构至少存在一个闭叶，且该叶为有理同伦收缩。
• 若一个闭叶的基本群有限生成，则所有叶均为闭叶，且商空间$M/\mathcal{F}$为有理同伦收缩。
• 任一闭叶的万有覆盖为有理同伦收缩的H-空间，其任意系数域$K$上的有理上同调均有限生成。
• 若一个闭叶的万有覆盖的整上同调有限生成，则叶状结构为简单叶状结构，所有叶同伦收缩，且底空间$M/\mathcal{F}$为有理同伦收缩。
• 在非负截面曲率条件下，每个完备同伦收缩流形上的黎曼叶状结构均为简单叶状结构。
• 在有理同伦收缩流形上的有界叶状结构仅有一个叶，意味着叶状结构是平凡的。