[论文解读] Riemannian $\mathbf{(1+d)}$-Dim Space-Time Manifolds with Nonstandard Topology which Admit Dimensional Reduction to Any Lower Dimension and Transformation of the Klein-Gordon Equation to the $\mathbf{1}$-Dim Schrödinger Like Equation

Plamen Fiziev|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出了一类具有非标准拓扑结构和可变紧化半径的 (1+d) 维黎曼时空流形，可实现向任意更低维度 d_low = 1,2,…,d−1 的维度约化。通过将几何结构转化为有效势能，克莱因-戈登方程可简化为一维薛定谔型方程，从而在四维可观测宇宙中研究来自高维与低维的物理信号。

ABSTRACT

This rather technical paper presents some generalization of the results of recent publications \cite{Shirkov2010, DVPF2010, PFDV2010} where toy models of dimensional reduction of space-time were considered. Here we introduce and consider a specific type of multidimensional space-times with nontrivial topology and nontrivial Riemannian metric, which admit a reduction of the dimension $d$ of the space to any lower one $d_{low} = 1, 2,..., d-1$. The variable geometry is described by several variable radii of compactification of part of space dimensions. We succeed once more in transforming the shape of the variable geometry of the $d$-dimensional spaces under consideration to a specific potential interaction, described by the potential $V$ in the one-dimensional Schrödinger-like equation. This way one may hope to study the possible physical signals going from both higher and lower dimensions into our obviously four dimensional real world.

研究动机与目标

• 构建具有非平凡拓扑结构的 (1+d) 维黎曼时空流形，使其可实现向任意更低维度的维度约化。
• 建立依赖于非紧化坐标 z 的可变紧化半径 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z) 的模型，以实现动态维度约化。
• 将高维空间的几何结构转化为一维薛定谔型方程中的有效势能。
• 通过这种几何到势能的映射，实现在四维可观测宇宙中研究来自高维与低维的物理信号。
• 将先前的维度约化玩具模型推广至更广泛的流形类，其维度任意满足 d ≥ 3。

提出的方法

• 将 (1+d) 维流形定义为在具有坐标 t, z 和角变量 φ₁,…,φ_{d−1} 的平坦 (1+5) 维伪欧几里得空间中的超曲面，其半径为 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)。
• 推导 (1+d) 维流形上的诱导黎曼度量，表明其依赖于可变半径及其导数。
• 引入新坐标 u(z) = ∫ [ρ_d(z)/(ρ₁(z)…ρ_{d−1}(z))] dz，以将 d 维拉普拉斯算子简化为可分离形式。
• 对克莱因-戈登方程应用分离变量法，将径向部分约化为含势能 V(u) 的一维薛定谔型方程，该势能由度量和曲率导出。
• 将有效势能 V(u) 表达为紧化半径 ρ₁(u), ..., ρ_{d−1}(u)、其导数以及质量与频率参数的函数。
• 利用 (1+d) 维标量曲率 R^{(1+d)} 构造共形不变克莱因-戈登方程（CIKGE），以定义第二个用于比较的势能 V_c(u)。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非标准拓扑结构和可变紧化半径 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z) 的 (1+d) 维黎曼流形是否可实现向任意更低维度 d_low = 1,2,…,d−1 的维度约化？
• RQ2 此类流形的几何结构如何映射为一维薛定谔型方程中的有效势能？
• RQ3 从约化后一维方程中几何可变性所引出的有效势能 V(u) 的显式形式为何？
• RQ4 当半径 ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z) 随 z 变化时，d 维空间的标量曲率 R^{(d)} 是否仍保持非平凡？
• RQ5 能否在此框架中构造共形不变克莱因-戈登方程？其有效势能 V_c(u) 是什么？

主要发现

• 通过令某些半径 ρ_μ(z) → 0，该 (1+d) 维流形可实现向任意更低维度 d_low = 1,2,…,d−1 的维度约化。
• 通过坐标 u(z) 的变换，d 维拉普拉斯算子被转化为包含 ϱ₁(u), ..., ϱ_{d−1}(u) 的可分离形式，即以 u 表示的半径。
• 克莱因-戈登方程的径向部分约化为含势能 V(u) = ∏_{α=1}^{d−1} ϱ_α²(u) × [(M²−ω²) + ∑_{α=1}^{d−1} m_α²/ϱ_α²(u)] 的一维薛定谔型方程。
• d 维空间的标量曲率 R^{(d)} 非零，其表达式复杂，涉及半径的二阶导数，证实了非平凡几何结构。
• 共形不变克莱因-戈登方程导出第二个有效势能 V_c(u) = [R^{(1+d)}/n_d − ω² + ∑ m_α²/ϱ_α²] × ∏ ϱ_α²，其中 n_d = 4/(1−1/d)，提供了另一种几何映射方式。
• 当 d > 3 时，d 维空间的外尔张量不为零，表明其非共形平坦；而三维空间的外尔张量为零，但托布张量非零，说明其亦非共形平坦。