[论文解读] Riemannian submersions from simple, compact Lie groups

Martin Kerin, Krishnan Shankar|ArXiv.org|Oct 22, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过一种新颖的构造方法，利用李代数的正交分解与非齐次度量，从配备双不变度量的简单紧致李群出发，构建了无穷多个黎曼叶状丛，其底空间为光滑流形，但并非总空间在任何群作用下的商空间。作者证明，诸如球面、复射影空间和施蒂费尔流形等底空间无法作为总李群的齐次空间，从而回答了K. Grove关于此类叶状丛结构的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

In this paper we construct infinitely many examples of a Riemannian submersion from a simple, compact Lie group $G$ with bi-invariant metric onto a smooth manifold that cannot be a quotient of $G$ by a group action. This partially addresses a question of K. Grove's about Riemannian submersions from Lie groups.

研究动机与目标

• 解决K. Grove关于配备双不变度量的紧致李群上黎曼叶状丛结构的开放性问题。
• 构造黎曼叶状丛的例子，其中底流形在微分同胚意义下不与总空间在任何群作用下的商同构。
• 将已知的黎曼叶状丛类扩展至双商构造之外，此前此类构造是唯一已知的例子。
• 证明某些齐次空间（如球面和施蒂费尔流形）可作为来自李群的叶状丛的底空间，而无需本身是该群的齐次空间。

提出的方法

• 利用紧致李群的李代数正交分解为对应于对称与非对称齐次空间的子代数。
• 通过两步过程构造黎曼叶状丛：首先从李群到对称空间的叶状丛，然后从对称空间到最终底流形的第二层叶状丛。
• 在中间齐次空间上使用非齐次度量，以确保复合映射构成具有非正交纤维的黎曼叶状丛。
• 应用具有全测地纤维的黎曼叶状丛理论，并利用长正合同伦序列排除群商结构的可能性。
• 借助O. Onishchik对单李代数分解为子代数之和的分类，识别出合适的对称与非对称对。
• 通过检查在诱导度量下水平与垂直分布的正交性，验证所得映射为黎曼叶状丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在配备双不变度量的紧致李群上的黎曼叶状丛，其底空间不是该群在群作用下的商？
• RQ2 是否存在非双商构造的、来自简单紧致李群的黎曼叶状丛？
• RQ3 此类叶状丛的底流形在拓扑与几何上受到何种约束？
• RQ4 黎曼叶状丛的底空间能否为S^8或CP^{2n-2}这样的空间，而无需作为该群的齐次空间？

主要发现

• 本文从配备双不变度量的简单紧致李群出发，构造了无穷多个黎曼叶状丛，其底空间并非总空间在任何群作用下的商。
• 对于SO(16)，构造了一个到S^8的黎曼叶状丛，该叶状丛非双商构造，因为其所需的结构群维数为112，且不存在具有该维数的单李群结构。
• 该构造给出了从SO(2n)到S^{2n-2}、从SU(2n)到S^{4n-3}、从SU(2n)到CP^{2n-2}，以及从SO(4n)到V_3(R^{4n-1})及其关于S^1商的叶状丛，其中n ≥ 3或n ≥ 4。
• 通过同伦群分析并结合不存在维数为112且满足π3 = Z的李群的事实，证明底流形（如S^8和CP^{2n-2}）不微分同胚于任何G/U。
• 作者证明，SO(4n-1)/Sp(n-1)Sp(1)上不存在任何齐次度量，可使中间映射π2与π2′同时成为黎曼叶状丛，从而确认该构造的非齐次性。
• 研究结果不仅限于SO(16) → S^8这一单个例子，而是推广为一个系统性的叶状丛族，揭示了一类超越双商框架的新叶状丛。