[论文解读] Riesz exponential families on homogeneous cones

Imen Boutouria, Abdelhamid Hassairi|ArXiv.org|Jun 10, 2009

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过在部分有序指标集上定义的乘子，利用广义幂函数，在Vinberg代数的齐次锥上引入了Riesz指数族。该研究通过识别乘子 $\chi$ 的集合，使得 $\Delta_{\chi}(\theta^{-1})$ 是正测度 $R_{\chi}$ 的Laplace变换，推广了Gindikin的结果，并刻画了 $R_{\chi}$ 生成指数族的条件，推导出其方差函数为 $V(m) = \sum_{i\in I} \frac{1}{\lambda_i}(P(m_{i\preceq}) - P(m_{i\prec}))$。该工作将Wishart和Riesz分布从对称锥推广至具有任意序结构的一般齐次锥。

ABSTRACT

In this paper, we introduce, for a multiplier $χ$, a notion of generalized power function $x\mapsto Δ_χ(x),$ defined on the homogeneous cone ${\mathcal{P}}$ of a Vinberg algebra ${\mathcal{A}}$. We then extend to ${\mathcal{A}}$ the famous Gindikin result, that is we determine the set of multipliers $χ$ such that the map $θ\mapsto Δ_χ(θ^{-1})$, defined on ${\mathcal{P}}^{\ast}$, is the Laplace transform of a positive measure $R_χ$. We also determine the set of $χ$ such that $R_χ$ generates an exponential family, and we calculate the variance function of this family

研究动机与目标

• 将Riesz与Wishart分布的理论从对称锥推广至Vinberg代数中的一般齐次锥。
• 通过与部分有序指标集相关的乘子 $\chi$，在齐次锥上定义广义幂函数 $\Delta_{\chi}(x)$。
• 确定乘子 $\chi$ 的集合，使得 $\Delta_{\chi}(\theta^{-1})$ 是对偶锥 $\mathcal{P}^*$ 上正测度 $R_{\chi}$ 的Laplace变换，推广Gindikin的结果。
• 刻画 $R_{\chi}$ 生成自然指数族的条件，并计算由此产生的族的方差函数。

提出的方法

• 在乘积空间 $\mathcal{A} = \prod_{i,j} \mathcal{A}_{ij}$ 上定义Vinberg代数结构，其中 $\mathcal{A}_{ij}$ 是由部分有序集 $I$ 索引的向量空间。
• 基于序关系 $\preceq$ 引入两类主子式——严格与广义——以定义乘子 $\chi$ 对应的广义幂函数 $\Delta_{\chi}(x)$。
• 利用二次表示 $P(X)K = X(KX)$ 及其对称性，分析逆映射 $X \mapsto X^{-1}$ 的微分，建立 $ (X^{-1})'(K) = -P(X^{-1})(K) $。
• 将累积量生成函数 $k_{R_{\chi}}(\theta)$ 推导为 $ -\sum_{i\in I} \lambda_i (\log \Delta_{\preceq i}(\theta) - \log \Delta_{\prec i}(\theta)) $，进而得到其一阶与二阶导数。
• 应用逆映射的微分及锥的结构，将方差函数表达为 $ V_{F(R_{\chi})}(m) = \sum_{i\in I} \frac{1}{\lambda_i}(P(m_{i\preceq}) - P(m_{i\prec})) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些乘子 $\chi$，映射 $\theta \mapsto \Delta_{\chi}(\theta^{-1})$ 是对偶锥 $\mathcal{P}^*$ 上正测度 $R_{\chi}$ 的Laplace变换？
• RQ2 在何种条件下，测度 $R_{\chi}$ 在齐次锥上生成自然指数族？
• RQ3 Riesz指数族的方差函数如何依赖于指标集 $I$ 的序结构？
• RQ4 方差函数 $V_{F(R_{\chi})}(m)$ 的显式形式如何用二次表示 $P$ 与分量 $m_{i\preceq}, m_{i\prec}$ 表达？
• RQ5 所提出的框架如何推广经典Wishart与Riesz分布在对称锥上的结果？

主要发现

• 使得 $\Delta_{\chi}(\theta^{-1})$ 为正测度 $R_{\chi}$ 的Laplace变换的乘子 $\chi$ 的集合，通过条件 $\lambda_i > 0$ 对所有 $i \in \wp \cup \mathcal{S}$ 刻画，其中 $\wp$ 与 $\mathcal{S}$ 是与序结构相关的特定指标子集。
• 当且仅当对所有 $i \in \wp \cup \mathcal{S}$ 有 $\lambda_i > 0$ 时，测度 $R_{\chi}$ 生成自然指数族，从而确保 $R_{\chi}$ 的支集不集中在超平面上。
• Riesz指数族的方差函数为 $ V_{F(R_{\chi})}(m) = \sum_{i\in I} \frac{1}{\lambda_i}(P(m_{i\preceq}) - P(m_{i\prec})) $，该形式推广了独立同分布情形下Wishart方差函数 $ \frac{1}{\lambda} P(m) $。
• 逆映射的微分满足 $ (X^{-1})'(K) = -P(X^{-1})(K) $，这是推导累积量生成函数二阶导数的关键恒等式。
• 该结果将Gindikin定理由要求全序的条件推广至具有任意偏序的Vinberg代数，从而将Riesz分布的定义域扩展至一般齐次锥。
• 在全序情况下，该框架恢复了经典Riesz与Wishart分布在对称锥上的结果，验证了与已有理论的一致性。