[论文解读] Riesz representation and optimal stopping with two case studies

Sören Christensen, Paavo Salminen|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出了一种过度函数 Riesz 表示的创新应用，以解决多维最优停时问题，特别是最优投资问题和美式看跌期权定价问题。通过利用 Riesz 表示，作者推导出一个积分方程，其唯一解刻画了最优停时边界，为在高维和有限时域设定下识别停时区域提供了一种严格且显式的方法，而这些情形下闭式解原本难以获得。

ABSTRACT

In this paper we demonstrate that the Riesz representation of excessive functions is a useful and enlightening tool to study optimal stopping problems. After a short general discussion of the Riesz representation we concretize, firstly, on a d-dimensional and, secondly, a space-time one-dimensional geometric Brownian motion. After this, two classical optimal stopping problems are discussed: 1) the optimal investment problem and 2) the valuation of the American put option. It is seen in both of these problems that the boundary of the stopping region can be characterized as a unique solution of an integral equation arising immediately from the Riesz representation of the value function. In Problem 2 the derived equation coincides with the standard well-known equation found in the literature.

研究动机与目标

• 开发一种系统性方法，以解决传统闭式解不可行的高维最优停时问题。
• 利用基于 Riesz 表示的积分方程，刻画多维最优投资问题中的最优停时边界。
• 通过 Riesz 表示重新推导美式看跌期权行权边界的经典积分方程，并提供新的唯一性证明。
• 将过度函数理论的应用扩展至有限时域和多维扩散过程，特别是几何布朗运动。
• 通过隐式积分方程形式，提供一种数值上可处理的框架，用于计算复杂设定下的最优停时边界。

提出的方法

• 利用 Riesz 表示定理，将最优停时问题的值函数表示为状态空间上表示测度的积分。
• 将该表示应用于 d 维及时空一维的几何布朗运动，使多维和有限时域问题的分析成为可能。
• 通过利用边界条件 $ V(x) = g(x) $ 在 $ \partial S $ 上（其中 $ S $ 为停时区域），推导出最优停时边界的积分方程。
• 利用再生核和格林函数，将值函数表示为涉及奖励函数与马氏过程期望的表达式。
• 建立值函数在继续区域与停时区域上的可微性与凸性，支持光滑边界的存 在。
• 提出一种求解所推导积分方程的数值方法，实现最优停时边界的实用计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Riesz 表示的过度函数能否用于刻画多维最优停时问题中的最优停时边界？
• RQ2 Riesz 表示如何导出唯一确定最优投资问题停时边界的积分方程？
• RQ3 基于 Riesz 的方法是否能恢复美式看跌期权行权边界的经典积分方程？能否通过该方法证明解的唯一性？
• RQ4 在此表示框架下，值函数与停时边界的正则性性质（如可微性、凸性）为何？
• RQ5 所推导的积分方程能否在高维或有限时域设定下通过数值方法求解，以近似最优停时边界？

主要发现

• 多维最优投资问题的最优停时边界被刻画为基于值函数 Riesz 表示推导出的积分方程的唯一解。
• 所推导的美式看跌期权行权边界积分方程与文献中已知的经典方程一致，验证了结果的一致性。
• 通过 Riesz 表示中表示测度的唯一性，证明了积分方程解的唯一性，提供了独立于局部时方法的新分析证明。
• 证明了值函数在继续区域内部为 $ C^1 $，在边界上可微，且凸性保证了光滑性。
• 该方法为求解高维设定下无法获得显式解的停时边界问题，提供了一种数值上可行的途径。
• 通过将时空过程视为二维扩散过程，该方法成功处理了有限时域问题，将适用范围扩展至无限时域模型之外。