[论文解读] Riesz transform associated with the fractional Fourier transform and applications in image edge detection

Zunwei Fu, Loukas Grafakos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2021

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用 4

一句话总结

本文通过分数阶傅里叶变换（FRFT）将分数阶Riesz变换引入为经典Riesz变换的推广，实现了图像中方向性边缘检测。通过控制分数阶参数，该方法可同时提取振幅、相位和方向信息，并利用基于FRFT的快速算法实现高效计算，在Lena等测试图像上的多方向边缘检测中表现出优越性能。

ABSTRACT

The fractional Hilbert transform was introduced by Zayed [30, Zayed, 1998] and has been widely used in signal processing. In view of is connection with the fractional Fourier transform, Chen, the first, second and fourth authors of this paper in [6, Chen et al., 2021] studied the fractional Hilbert transform and other fractional multiplier operators on the real line. The present paper is concerned with a natural extension of the fractional Hilbert transform to higher dimensions: this extension is the fractional Riesz transform which is defined by multiplication which a suitable chirp function on the fractional Fourier transform side. In addition to a thorough study of the fractional Riesz transforms, in this work we also investigate the boundedness of singular integral operators with chirp functions on rotation invariant spaces, chirp Hardy spaces and their relation to chirp BMO spaces, as well as applications of the theory of fractional multipliers in partial differential equations. Through numerical simulation, we provide physical and geometric interpretations of high-dimensional fractional multipliers. Finally, we present an application of the fractional Riesz transforms in edge detection which verifies a hypothesis insinuated in [26, Xu et al., 2016]. In fact our numerical implementation confirms that amplitude, phase, and direction information can be simultaneously extracted by controlling the order of the fractional Riesz transform.

研究动机与目标

• 通过分数阶傅里叶变换将希尔伯特变换推广至高维，从而导出分数阶Riesz变换。
• 建立啁啾奇异积分算子、啁啾 Hardy 空间及啁啾 BMO 空间的理论框架。
• 通过利用FRFT和分数阶乘子定理，开发一种计算高效的边缘检测算法。
• 验证假设：通过控制分数阶参数，可同时从图像处理中提取振幅、相位和方向特征。
• 通过仿真提供高维分数阶乘子的数值和几何解释。

提出的方法

• 分数阶Riesz变换通过在分数阶傅里叶变换域中与啁啾函数相乘来定义，从而推广经典Riesz变换。
• 理论分析采用分数阶乘子定理，将变换表示为FRFT、乘子和逆FRFT的复合形式，实现快速计算。
• 在旋转不变空间、啁啾 Hardy 空间及其对偶空间上研究啁啾奇异积分算子，利用调和分析技术建立有界性。
• 边缘检测通过公式(6.3)和(6.4)实现，相比直接积分(6.1)和(6.2)，计算复杂度更低。
• 数值仿真使用Lena图像并结合阈值二值化，突出展示在不同分数阶参数下对方向性边缘的提取效果。
• 该方法动态调节分数阶参数(α₁, α₂)，以提取横向、纵向、主对角线和反对角线方向的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过分数阶傅里叶变换，将分数阶希尔伯特变换自然推广至高维，从而构造出分数阶Riesz变换？
• RQ2 啁啾奇异积分算子在啁啾 Hardy 空间及其对偶空间上的行为如何？其有界性特征是什么？
• RQ3 通过调节其阶次参数，分数阶Riesz变换能否高效地从图像中提取振幅、相位和方向特征？
• RQ4 与直接积分相比，通过FRFT组合形式表达分数阶Riesz变换在计算上具有何种优势？
• RQ5 数值实现是否证实：通过控制分数阶参数，可选择性地提取方向性边缘特征？

主要发现

• 通过调节分数阶参数α₁和α₂，分数阶Riesz变换可同时提取图像中的振幅、相位和方向信息。
• 当α₁ = π/2且α₂变化时，可提取横向方向特征（上下），表现出方向敏感性。
• 当α₂ = π/2且α₁变化时，可选择性提取纵向方向特征（左右），证实了方向控制能力。
• 同时增加或减少α₁和α₂（从π/2出发）可分别提取主对角线和反对角线方向的特征。
• 基于FRFT的公式(6.3)和(6.4)相比直接积分公式(6.1)和(6.2)，显著降低了计算复杂度，实现更快的边缘检测。
• Lena图像上的数值结果证实，通过方向调制可提升边缘检测性能，验证了Xu等人（2016）提出的假设。