[论文解读] Riesz transform via heat kernel and harmonic functions on non-compact manifolds

Renjin Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 46被引用 3

一句话总结

该论文在满足体积加倍、高斯热核上界以及紧集外 $L^2$-Poincaré 不等式的非紧黎曼流形上，建立了 Riesz 变换（$R_p$）、热半群梯度（$G_p$）与调和函数的反向 Hölder 不等式（$RH_p$）在 $L^p$ 有界性上的等价性。对于 $p \in (2,n)$，该等价性蕴含了范围的开放性与粘合操作下的稳定性，扩展了先前结果，并通过具有多个欧几里得端的流形上的反例展示了结果的最优性。

ABSTRACT

Let $M$ be a complete non-compact manifold satisfying the volume doubling condition, with doubling index $N$ and reverse doubling index $n$, $n\le N$, both for large balls. Assume a Gaussian upper bound for the heat kernel, and an $L^2$-Poincaré inequality outside a compact set. If $22$ on manifolds having at least two Euclidean ends of dimension $n$. For $p\in (\max\{N,2\},\infty)$, the fact that $(R_p)$, $(G_p)$ and $(RH_p)$ are equivalent essentially follows from [22]; moreover, if $M$ is non-parabolic, then any of these conditions implies that $M$ has only one end. For the proof, we develop a new criteria for boundedness of the Riesz transform, which was nontrivially adapted from [4], and make an essential application of results from [22]. Our result allows extensions to non-smooth settings.

研究动机与目标

• 在几何与分析条件下刻画非紧流形上 Riesz 变换的 $L^p$-有界性。
• 将已知的 $R_p$ 与 $G_p$ 之间等价性结果从 $L^2$-Poincaré 假设推广至 $p \in (2,n)$ 的情形。
• 证明 $R_p$ 在 $p \in (2,n)$ 范围内具有开放性性质，并在流形粘合操作下保持稳定。
• 通过构造具有多个欧几里得端（维度 $n \geq 3$）的流形上的反例，证明结果的最优性。
• 将框架推广至非光滑度量测度空间及一致椭圆型微分算子。

提出的方法

• 提出一种新的 Riesz 变换有界性判定准则，非平凡地借鉴了 Auscher 等人 [5] 的早期工作。
• 利用热核的高斯上界与体积加倍条件，控制 $L^p$ 空间中 Riesz 变换的行为。
• 应用 [23] 中关于热核估计与梯度界的结果，通过谱理论将 $G_p$ 与 $R_p$ 联系起来。
• 将调和函数梯度的反向 Hölder 不等式（$RH_p$）确立为关键中间条件。
• 利用加倍指数 $N$ 与反向加倍指数 $n$，定义等价性成立的范围 $p \in (2,n)$。
• 应用粘合技术证明 $R_p$ 在流形构造下的稳定性，利用等价性推断出结果流形上的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于 $L^2$-Poincaré 不等式的几何假设下，$G_p$（热半群梯度的 $L^p$-有界性）是否蕴含 $R_p$（Riesz 变换的 $L^p$-有界性），其中 $p > 2$？
• RQ2 在满足体积加倍与高斯热核上界的非紧流形上，$R_p$、$G_p$ 与 $RH_p$ 在 $p \in (2,n)$ 范围内是否等价？
• RQ3 具有多个欧几里得端的流形上，$R_p$ 成立的最优 $p$ 范围为何？该范围是否最优？
• RQ4 该 $R_p$、$G_p$ 与 $RH_p$ 之间的等价性能否推广至非光滑度量测度空间或更一般的椭圆型算子？
• RQ5 Riesz 变换在流形粘合操作下行为如何？该等价性是否蕴含 $R_p$ 在此类操作下的稳定性？

主要发现

• 在满足体积加倍、高斯热核上界及紧集外 $L^2$-Poincaré 不等式的完备非紧流形上，对于 $p \in (2,n)$，条件 $R_p$、$G_p$ 与 $RH_p$ 相互等价。
• $R_p$ 具有开放性性质：若 $R_p$ 对某个 $p \in (2,n)$ 成立，则其在 $n$ 以下的一个邻域内所有 $p$ 值均成立，表明对小扰动具有稳定性。
• 等价性意味着 $R_p$ 在粘合操作下保持稳定：若 $R_p$ 在每个分量流形上成立，则在粘合后的流形上也成立。
• 该结果是最优的：在至少具有两个维度 $n \geq 3$ 的欧几里得端的流形上，对所有 $p \geq n$，$R_p$ 均不成立，表明 $p \in (2,n)$ 的范围是精确的。
• 对于 $p \in (\max\{N,2\}, \infty)$，$R_p$、$G_p$ 与 $RH_p$ 的等价性可由 [23] 中的早期结果推出；若流形非抛物，则任一条件均蕴含其仅有一个端。
• 该框架可推广至非光滑情形，包括 Dirichlet 度量测度空间与散度型一致椭圆型微分算子，依据定理 5.1 与定理 5.3。