[论文解读] Right Amenable Left Group Sets and the Tarski-Følner Theorem

Simon Wacker|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入了左齐次空间（具有有限稳定子群）的右-可约性、右-Følner网和右-悖论分解，证明了该情境下的塔斯基-Følner定理：右-可约性、右-Følner网的存在性以及右-悖论分解的缺失三者等价。该框架通过坐标系和由群元素诱导的半作用，将经典可约性理论扩展至群作用于齐次空间的情形。

ABSTRACT

We introduce right amenability, right Følner nets, and right paradoxical decompositions for left homogeneous spaces and prove the Tarski-Følner theorem for left homogeneous spaces with finite stabilisers. It states that right amenability, the existence of right Følner nets, and the non-existence of right paradoxical decompositions are equivalent.

研究动机与目标

• 将经典可约性概念从群推广至左齐次空间，特别是通过定义可约性的一个右-不变类比。
• 通过坐标系和群元素，定义左齐次空间上的右-半作用，推广群中右乘法的概念。
• 引入右-Følner网与右-悖论分解作为刻画齐次空间上群作用中右-可约性的工具。
• 证明具有有限稳定子群的左齐次空间的塔斯基-Følner定理，表明右-可约性、右-Følner网的存在性与右-悖论分解的缺失三者等价。
• 提供右-可约性的充分条件，如有限空间、阿贝尔群以及亚指数增长的有限生成群。

提出的方法

• 通过选择基点 $ m_0 \notin M $ 及一族 $ \{g_{m_0,m}\}_{m \notin M} $，定义 $ M $ 上的右-半作用 $ \triangleright $，使得 $ g_{m_0,m} \triangleright m_0 = m $，从而诱导出具有缺陷 $ G_0 $ 的 $ G/G_0 $-作用。
• 将右-可约性定义为 $ \text{P}(M) $ 上存在一个关于右-半作用 $ \triangleright $ 半不变的有限可加概率测度。
• 将右-Følner网定义为 $ M $ 的有限非空子集族，其在右-半作用下渐近不变。
• 将右-悖论分解定义为有限集 $ E \times M $，其具有划分 $ \{A_e\}, \{B_e\} $，使得映射 $ x \mapsto x \triangleright e $ 在 $ A_e $ 和 $ B_e $ 上均为单射，且像覆盖 $ M $。
• 利用右-Følner网的存在性排除悖论分解，反之亦然，从而在塔斯基-Følner定理中建立等价性。
• 将该理论应用于具体例子，如欧氏群 $ E $ 作用下的欧氏空间 $ \mathbb{R}^d $，利用平移子群 $ T $ 的阿贝尔性质，证明右-可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典的塔斯基-Følner定理由群作用推广至具有有限稳定子群的左齐次空间，以坐标系诱导的半作用替代群作用？
• RQ2 在缺乏自然右作用的情况下，左齐次空间的‘右-可约性’应如何定义？
• RQ3 在群作用于齐次空间的背景下，右-Følner网与右-悖论分解之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，具有有限稳定子群的左齐次空间是右-可约的，特别是与增长类型或代数结构的关系如何？
• RQ5 能否利用平移群 $ T \to \mathbb{R}^d $ 的可约性，推导出欧氏群 $ E $ 作用下整个欧氏空间的右-可约性？

主要发现

• 对于具有有限稳定子群的左齐次空间，右-可约性、右-Følner网的存在性以及右-悖论分解的缺失三者等价。
• 有限左齐次空间、阿贝尔群以及亚指数增长的有限生成群是右-可约的，尤其在通过左乘法作用于有限子群的商空间时成立。
• 具有坐标系 $ (m_0, \{g_{m_0,m}\}) $ 的胞腔空间 $ \mathcal{R} = (M, G, \triangleright) $，若稳定子群 $ G_0 $ 有限且自由作用的群 $ H $ 为阿贝尔群，则该空间是右-可约的。
• 在欧氏群 $ E $ 作用于 $ \mathbb{R}^d $ 的情形下，平移子群 $ T \cong \mathbb{R}^d $ 为阿贝尔群，因而左-可约，从而整个胞腔空间是右-可约的。
• 通过选择基点和将基点映射到任意其他点的群元素，构造 $ M $ 上的右-半作用，从而通过 $ G/G_0 $ 的诱导作用定义右-不变测度。
• 证明依赖于如下事实：若存在右-Følner网，则不存在右-悖论分解；反之，若不存在此类分解，则右-Følner网存在，从而完成三者等价性的证明。