[论文解读] Right-angled Artin groups as normal subgroups of mapping class groups

Matt Clay, Johanna Mangahas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文通过为投影复形量身定制的新版本风车装置，首次构造出映射类群、 braid 群和 Torelli 群中作为正规子群的非自由右-angled Artin 群。关键贡献是一项技术性定理，表明在投影复形上满足特定“旋转”作用时，群可嵌入为稳定化顶点群的自由积，从而得到明确的同构类型，包括 $F_∞ imes F_∞$、$F_∞ imes \mathbb{Z}$ 和 $F_∞ \times F_∞ \times \mathbb{Z}$ 的无限自由积，并在正规子群结构与同余子群方面具有应用。

ABSTRACT

We construct the first examples of normal subgroups of mapping class groups that are isomorphic to non-free right-angled Artin groups. Our construction also gives normal, non-free right-angled Artin subgroups of other groups, such as braid groups and pure braid groups, as well as many subgroups of the mapping class group, such as the Torelli subgroup. Our work recovers and generalizes the seminal result of Dahmani-Guirardel-Osin, which gives free, purely pseudo-Anosov normal subgroups of mapping class groups. We give two applications of our methods: (1) we produce an explicit proper normal subgroup of the mapping class group that is not contained in any level $m$ congruence subgroup, and (2) we produce an explicit example of a pseudo-Anosov mapping class with the property that all of its even powers have free normal closure and its odd powers normally generate the entire mapping class group. The technical theorem at the heart of our work is a new version of the windmill apparatus of Dahmani-Guirardel-Osin, which is tailored to the setting of group actions on the projection complexes of Bestvina-Bromberg-Fujiwara.

研究动机与目标

• 构造映射类群中非自由右-angled Artin 群的显式例子，使其成为正规子群。
• 将 Dahmani–Guirardel–Osin 关于伪阿诺索夫元素自由正规包的结论推广至非自由右-angled Artin 群。
• 解决关于正规子群结构的开放问题，特别是关于同余子群以及伪阿诺索夫元素幂的正规生成问题。
• 将风车装置推广至对应于不连通子曲面的投影复形。
• 系统性地分类映射类群子群中作为正规子群出现的右-angled Artin 群的同构类型。

提出的方法

• 开发一种适用于 Bestvina–Bromberg–Fujiwara 投影复形上群作用的新版本风车装置。
• 在投影复形上定义一种“旋转”作用，其中顶点对应于不连通的子曲面，从而实现正规子群的构造。
• 利用投影复形理论分析具有充分大支撑的映射类的高次幂的正规包。
• 应用技术定理 1.6，该定理表明在旋转作用下，群同构于稳定化顶点群的自由积。
• 通过 Thurston 构造在多曲线上的应用，构造显式例子，以产生具有受控正规包的伪阿诺索夫映射类。
• 利用曲面的二面体对称性，控制特定元素幂的正规包，尤其在定理 1.5 的证明中。

实验结果

研究问题

• RQ1 非自由右-angled Artin 群能否作为映射类群的正规子群出现？若能，其生成映射类需满足何种条件？
• RQ2 哪些同构类型的右-angled Artin 群可作为映射类群、纯 braid 群和 Torelli 群中的正规子群实现？
• RQ3 是否存在映射类群的正规子群不包含于任何第 $m$ 级同余子群中？若存在，如何显式构造？
• RQ4 对于一个伪阿诺索夫映射类，其奇次幂或偶次幂的正规包何时等于整个映射类群或一个无限秩自由群？
• RQ5 当支撑充分大时，映射类的高次幂的正规包的精确结构是什么？

主要发现

• 本文首次在映射类群中构造出 14 个非自由右-angled Artin 群作为正规子群，具体为 $F_\infty$、$F_\infty \times F_\infty$、$F_\infty \times \mathbb{Z}$ 和 $F_\infty \times F_\infty \times \mathbb{Z}$ 的自由积。
• 一个伪阿诺索夫映射类 $f$ 的充分大偶次幂的正规包同构于 $F_\infty$，即无限秩自由群。
• 一个特定伪阿诺索夫元素 $h$ 的充分大奇次幂的正规包等于整个映射类群 $\operatorname{Mod}(S_g)$。
• 本文显式构造出一个 $\operatorname{Mod}(S_g)$ 的正规子群，其不包含于任何第 $m$ 级同余子群中，回答了 Lanier 与第三作者提出的问题。
• 该构造表明，对于特定伪阿诺索夫元素 $h$，所有充分大的奇次幂均正规生成 $\operatorname{Mod}(S_g)$，而所有充分大的偶次幂的正规包同构于 $F_\infty$。
• 该方法适用于子群如 Torelli 群和纯 braid 群，表明所有 15 种同构类型（包括自由群）均作为这些群中的正规子群出现。