[论文解读] Rigid connections, $F$-isocrystals and integrality

Hélène Esnault, Michael Groechenig|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文通过证明在大素数 $p$ 下，光滑射影复代数簇上的不可约刚性平坦联络通过模 $p$ 约化可提升为 $F$-等距丛，证明了大 $p$ 下 $p$-曲率的幂零性，并在 $p$-曲率消失时建立了单位性，从而验证了辛普森动机性猜想的关键方面。这些结果给出了格罗滕迪克–卡茨 $p$-曲率猜想的新情形，并为共轭刚性 $F$-等距丛建立了完整的伴侣对应关系。

ABSTRACT

An irreducible integrable connection $(E, abla)$ on a smooth projective complex variety $X$ is called rigid if it gives rise to an isolated point of the corresponding moduli space $\mathcal{M}_{dR}(X)$. According to Simpson's motivicity conjecture, irreducible rigid flat connections are of geometric origin, that is, arise as subquotients of a Gaus-Manin connection of a family of smooth projective varieties defined on an open dense subvariety of $X$. In this article we study mod $p$ reductions of irreducible rigid connections and establish results which confirm Simpson's prediction. In particular, for large $p$, we prove that $p$-curvatures of mod $p$ reductions of irreducible rigid flat connections are nilpotent, and building on this result, we construct an $F$-isocrystalline realization for {irreducible} rigid flat connections. More precisely, we prove that there exist smooth models $X_R$ and $(E_R, abla_R)$ of $X$ and $(E, abla)$, over a finite type ring $R$, such that for every Witt ring $W(k)$ of a finite field $k$ and every homomorphism $R o W(k)$, the $p$-adic completion of the base change $(\widehat{E}_{W(k)},\widehat{ abla}_{W(k)})$ on $\widehat{X}_{W(k)}$ represents an $F$-isocrystal. Subsequently we show that {irreducible} rigid flat connections with vanishing $p$-curvatures are unitary. This allows us to prove new cases of the Grothendieck--Katz $p$-curvature conjecture. We also prove the existence of a complete companion correspondence for $F$-isocrystals stemming from irreducible cohomologically rigid connections.

研究动机与目标

• 验证辛普森动机性猜想关于不可约刚性平坦联络几何起源的预测。
• 通过模 $p$ 约化建立不可约刚性平坦联络的 $F$-等距丛实现。
• 证明在 $p$-曲率消失时，不可约刚性平坦联络是单位的，从而支持格罗滕迪克–卡茨 $p$-曲率猜想。
• 为源自共轭刚性联络的 $F$-等距丛建立完整的伴侣对应关系。

提出的方法

• 分析复数域上光滑射影代数簇上不可约刚性联络的模 $p$ 约化，重点关注大素数 $p$。
• 证明这些约化在足够大 $p$ 时，其 $p$-曲率为幂零。
• 构造有限型环 $R$ 上的光滑模型 $X_R$ 和 $(E_R, \nabla_R)$，使得其在 $W(k)$ 上的基变换经 $p$-进完备化后得到 $F$-等距丛。
• 利用 $p$-曲率的幂零性，推导出当 $p$-曲率为零时刚性联络的单位性。
• 应用 $F$-等距丛及其伴侣的理论，为共轭刚性 $F$-等距丛建立完整的伴侣对应关系。
• 利用在 $W(k)$ 上的 $p$-进完备化连接，实现在基变换的正式完备化上的 $F$-等距丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大素数 $p$ 下，光滑射影复代数簇上的不可约刚性平坦联络是否可通过模 $p$ 约化获得 $F$-等距丛实现？
• RQ2 不可约刚性平坦联络的模 $p$ 约化在大素数 $p$ 下的 $p$-曲率是否幂零？
• RQ3 在何种条件下，$p$-曲率为零的不可约刚性平坦联络成为单位的？
• RQ4 能否为源自共轭刚性联络的 $F$-等距丛建立完整的伴侣对应关系？
• RQ5 这些结果是否确认了格罗滕迪克–卡茨 $p$-曲率猜想的新情形？

主要发现

• 对于大素数 $p$，不可约刚性平坦联络的模 $p$ 约化其 $p$-曲率为幂零。
• 在 $p$-曲率为零时，不可约刚性平坦联络是单位的，这为格罗滕迪克–卡茨 $p$-曲率猜想提供了新情形。
• 存在有限型环 $R$ 上的光滑模型 $X_R$ 和 $(E_R, \nabla_R)$，使得其在 $W(k)$ 上的基变换经 $p$-进完备化后得到 $F$-等距丛。
• 对任意环同态 $R \to W(k)$，$(E_R, \nabla_R)$ 在 $W(k)$ 上的基变换的 $p$-进完备化在 $\widehat{X}_{W(k)}$ 上表示一个 $F$-等距丛。
• 为源自不可约共轭刚性联络的 $F$-等距丛建立了完整的伴侣对应关系。
• $F$-等距丛实现的构造确认了辛普森动机性猜想在 $p$-进情形下的关键预测。