[论文解读] Rigid continuation paths I. Quasilinear average complexity for solving polynomial systems

Pierre Lairez|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 46被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值延拓方法，利用刚性延拓路径求解随机高斯多项式系统，实现准线性平均复杂度。通过沿方程的刚性运动而非线性路径追踪解，该算法将平均延续步骤数减少至 $ O(n^4D^2) $，相较于先前的 $ O((\text{输入大小})^{3/2 + o(1)}) $ 边界，提升至 $ O((\text{输入大小})^{1 + o(1)}) $，从而以最优效率回答了斯梅尔的第17个问题。

ABSTRACT

How many operations do we need on the average to compute an approximate root of a random Gaussian polynomial system? Beyond Smale's 17th problem that asked whether a polynomial bound is possible, we prove a quasi-optimal bound $ ext{(input size)}^{1+o(1)}$. This improves upon the previously known $ ext{(input size)}^{\frac32 +o(1)}$ bound. The new algorithm relies on numerical continuation along \emph{rigid continuation paths}. The central idea is to consider rigid motions of the equations rather than line segments in the linear space of all polynomial systems. This leads to a better average condition number and allows for bigger steps. We show that on the average, we can compute one approximate root of a random Gaussian polynomial system of~$n$ equations of degree at most $D$ in $n+1$ homogeneous variables with $O(n^5 D^2)$ continuation steps. This is a decisive improvement over previous bounds that prove no better than $\sqrt{2}^{\min(n, D)}$ continuation steps on the average.

研究动机与目标

• 通过实现求解随机多项式系统的准线性平均复杂度，解决斯梅尔的第17个问题。
• 通过引入方程的刚性运动以克服线性同伦路径的局限性，改善条件数和步长。
• 将计算近似根所需的延续步骤数从 $ O((\text{输入大小})^{3/2 + o(1)}) $ 减少至 $ O((\text{输入大小})^{1 + o(1)}) $。
• 为求解随机稠密多项式系统的一个根，提供一种具有最优平均性能的确定性算法。

提出的方法

• 通过考虑多项式系统的刚性运动（旋转与平移）而非系统空间中的线性插值，引入刚性延拓路径。
• 定义一种新的路径跟踪策略，其中系统通过刚性变换演化，从而获得更优的平均条件数 $ \mu(F_t, \zeta_t) $。
• 使用 $ \mu $-估计延续步骤：$ K(F,G,\zeta) \leq C \int_0^1 \frac{\mu(F_t, \zeta_t)}{\| \dot{F}_t \| + \| \dot{\zeta}_t \|} dt $，但路径几何结构得到改进。
• 通过高斯线性映射与核采样，随机采样一个高斯系统 $ G \in H $ 及其已知零点 $ \zeta \in \mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1}) $。
• 应用射影牛顿迭代沿刚性路径追踪零点，由于条件改善，确保更大的步长和收敛性。
• 通过在系统空间的单位球面上关于自然概率测度进行积分，分析平均复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将求解随机多项式系统的平均延续步骤数减少至输入大小的准线性函数？
• RQ2 使用系统刚性运动而非线性插值，是否能带来更优的平均条件数和更大的步长？
• RQ3 能否在刚性路径上有效应用 $ \mu $-估计，以实现延续步骤数的近似最优界？
• RQ4 是否能够以多项式时间采样一个随机系统及其已知零点，从而实现延续算法的高效初始化？

主要发现

• 求解一个随机高斯多项式系统的单个近似根所需的平均延续步骤数为 $ O(n^4D^2) $，该值在输入大小 $ N $ 上为准线性。
• 该结果优于先前已知的最佳平均复杂度边界 $ O(N^{3/2 + o(1)}) $，实现 $ O(N^{1 + o(1)}) $ 的复杂度。
• 使用刚性延拓路径可降低平均条件数，相较于线性路径，从而实现更大且更稳定的延续步长。
• 该算法实现了最优复杂度边界 $ O(N^{1 + o(1)}) $，以确定性且高效的方法回答了斯梅尔的第17个问题。
• 该方法依赖于一种新颖的随机系统及其已知零点的采样技术，该技术高效且与延续框架兼容。
• 理论分析证实，期望的延续步骤数呈 $ O(n^4D^2) $ 的增长，该值与解的数量无关，且在平均情况下为最优。