[论文解读] Rigid Foldability is NP-Hard

Hugo A. Akitaya, Erik D. Demaine+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Advanced Materials and Mechanics参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文证明了在必须使用所有折痕和允许可选折痕两种情况下，确定折痕图样的刚性可折叠性均为 NP-难问题。作者通过从 Partition 问题约化，证明了在使用所有折痕的模型中为弱 NP-难；通过从 1-in-3 SAT 问题约化，证明了在可选折痕模型中为强 NP-难，表明复杂性的根源在于顶点处的组合约束，而非自相交或层序排列。

ABSTRACT

In this paper, we show that deciding rigid foldability of a given crease pattern using all creases is weakly NP-hard by a reduction from Partition, and that deciding rigid foldability with optional creases is strongly NP-hard by a reduction from 1-in-3 SAT. Unlike flat foldability of origami or flexibility of other kinematic linkages, whose complexity originates in the complexity of the layer ordering and possible self-intersection of the material, rigid foldability from a planar state is hard even though there is no potential self-intersection. In fact, the complexity comes from the combinatorial behavior of the different possible rigid folding configurations at each vertex. The results underpin the fact that it is harder to fold from an unfolded sheet of paper than to unfold a folded state back to a plane, frequently encountered problem when realizing folding-based systems such as self-folding matter and reconfigurable robots.

研究动机与目标

• 确定由刚性板片通过旋转铰链连接而成的折痕图样中刚性可折叠性的计算复杂性。
• 确立即使不考虑自相交问题，刚性可折叠性依然困难，从而将其与其它折叠问题区分开来。
• 分析使用所有折痕与使用可选折痕时刚性可折叠性复杂性的差异。
• 证明困难性源于局部顶点约束，而非几何或拓扑障碍。

提出的方法

• 通过从 Partition 问题的约化，证明使用所有折痕的刚性可折叠性为弱 NP-难。
• 通过从 1-in-3 SAT 问题的约化，证明使用可选折痕的刚性可折叠性为强 NP-难。
• 设计专用的折纸装置——分流器、阶梯分流器、扩宽分流器以及 90° 旋转交叉装置——以强制实现逻辑约束并同步折叠速度。
• 使用旋转矩阵和等距折叠模型，将刚性折叠形式化为保持面刚性的连续、分段测地线变换。
• 构建一个具有水平和垂直导线的平面折痕图样，其中变量装置和子句装置编码逻辑变量和约束条件。
• 通过不同导线速度（1, p, p²）的差异实现折叠速度同步，确保折叠信号在整个图样中一致传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用所有折痕的折痕图样刚性可折叠性是否在计算上困难？若是，其属于哪个复杂性类？
• RQ2 允许可选折痕（即某些折痕可保持平坦）是否会降低刚性可折叠性的计算复杂性？
• RQ3 刚性可折叠性困难的根源是什么——自相交、层序排列，还是顶点处的组合约束？
• RQ4 能否构建一个平面折痕图样，使其刚性可折叠性恰好对应于某个 1-in-3 SAT 公式的可满足性？
• RQ5 考虑到其属于 ∃ℝ，刚性可折叠性问题是否属于 NP，还是严格更难？

主要发现

• 使用所有折痕的刚性可折叠性为弱 NP-难，通过从 Partition 问题的约化得以证明。
• 使用可选折痕的刚性可折叠性为强 NP-难，通过从 1-in-3 SAT 问题的约化得以确立。
• 困难性源于顶点处的组合约束，而非自相交或层序排列，即使在无材料重叠的情况下亦如此。
• 一组相互连接的折纸装置（分流器、交叉装置及速度同步导线）可模拟 1-in-3 SAT 实例，且仅当公式可满足时才可折叠。
• 通过为不同类型的导线分配不同速度（1, p, p²），实现折叠速度同步，确保正确传播折叠信号。
• 该结果表明，从平坦状态折叠的计算难度高于展开，这是自折叠材料和可重构机器人的关键挑战。