[论文解读] Rigid foldability of the augmented square twist

Thomas C. Hull, Michael T. Urbanski|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Advanced Materials and Mechanics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明，在经典正方形扭转褶皱图案中添加一条对角线折痕可实现刚性折叠，使其转变为1自由度机构。通过基于折叠角方程与环路约束的运动学分析，对四阶和五阶顶点进行分析，完整刻画了配置空间，确定了从展开状态出发的恰好四种非退化刚性折叠模式。

ABSTRACT

Define the augmented square twist origami crease pattern to be the classic square twist crease pattern with one crease added along a diagonal of the twisted square. In this paper we fully describe the rigid foldability of this new crease pattern. Specifically, the extra crease allows the square twist to rigidly fold in ways the original cannot. We prove that there are exactly four non-degenerate rigid foldings of this crease pattern from the unfolded state.

研究动机与目标

• 确定在经典正方形扭转中添加一条对角线折痕是否可实现刚性可折叠性。
• 完整刻画所得到的增强型褶皱图案的配置空间。
• 识别所有与展开状态相连的非退化刚性折叠模式。
• 应用Balkcom的方法于五阶顶点，推导刚性折叠的运动学方程。

提出的方法

• 针对四阶、可展平的顶点（α=45°, β=90°），使用折叠角方程，并推导涉及 tan(ρ₁/2) 与 tan(ρ₂/2) 的特定模式关系。
• 通过使用旋转矩阵 R_x(θ) 与 R_z(θ) 建模三维旋转，将Balkcom的方法应用于五阶顶点，以确保几何一致性。
• 在每个五阶顶点处，推导出依赖折叠角（φ₁, ψ₁, φ₂, ψ₂）关于独立变量（u₁, ζ）的隐式方程。
• 在中心四阶顶点 v₂ 处施加环路闭合约束，通过约束 φ₁ = ±2 arctan((√2−1) tan(φ₂/2)) 将系统自由度从2减少至1。
• 通过分析不同顶点模式下折叠角函数的交线曲线，识别有效的刚性折叠路径。
• 使用 Mathematica 计算并可视化配置空间曲线，通过折叠角曲线图的图形分析进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过添加一条折痕，能否使经典正方形扭转实现刚性可折叠？
• RQ2 从展开状态出发，增强型正方形扭转存在多少种非退化刚性折叠模式？
• RQ3 增强型正方形扭转中五阶顶点的运动学行为如何？
• RQ4 四阶顶点的折叠模式（模式1与模式2）如何影响整体的刚性可折叠性？
• RQ5 增强型正方形扭转的配置空间结构是怎样的？其受环路闭合约束的方式如何？

主要发现

• 增强型正方形扭转是一个1自由度的刚性可折叠机构，其中心顶点的环路闭合使自由度减少为1。
• 从展开状态出发，恰好存在四种非退化刚性折叠模式，每种对应于顶点折叠模式的不同组合。
• 五阶顶点的折叠角曲线通过旋转矩阵推导得出，每个依赖角产生两个解（±），构成配置空间的基础。
• 中心四阶顶点的环路约束使系统的自由度从2减少至1，确认了该机构的1-DOF特性。
• 在四种非退化模式中，有三种模式由通过配置空间原点的曲线追踪，其中一种模式遵循 y = -2 arctan((√2/2) tan(ζ/2)) 的轨迹。
• 退化情况（共六种）位于 ζ=0 轴上，对应于未增强的正方形扭转，其不可实现刚性折叠。