[论文解读] Rigid local systems and relative motives with Galois group G_2

Michael Dettweiler, Stefan Reiter|May 15, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文利用 N. Katz 的中卷积函子，构造了单值群在例外代数群 $G_2$ 中稠密的刚性局部系统。证明了具有 $G_2$ 类型 motivic Galois 群的动机的存在性，部分回答了 Serre 的问题，并通过 $\ell$-adic 上同调与 Tannaka 对偶性支持了 Grothendieck 的标准猜想。

ABSTRACT

We classify rigid local systems of rank 7 whose monodromy group is dense in the simple algebraic group of type G2. This leads to motives with Galois group G2.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上建立刚性局部系统的存在性，其单值群在 $G_2$ 中关于 Zariski 拓扑稠密。
• 证明此类刚性局部系统可通过中卷积函子 $\mathrm{MC}_\chi$ 作用于秩一层而构造。
• 在 Grothendieck 的标准猜想下，推导出具有 $G_2$ 类型 motivic Galois 群的动机的存在性。
• 为 Serre 关于例外 motivic Galois 群的动机存在性问题提供部分解答。

提出的方法

• 将中卷积函子 $\mathrm{MC}_\chi$ 应用于不可约的 $\acute{\text{e}}$tale 刚性局部系统，将其约化为秩一层。
• 使用 Katz 的存在性算法，检验给定的局部单值条件是否可提升为不可约的刚性局部系统。
• 在 $\mathbb{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ 上构造一个秩为 7 的 $\acute{\text{e}}$tale 刚性局部系统 $\mathcal{H}(\varphi,\eta)$，其在点 $0$、$1$ 和 $\infty$ 处具有指定的局部单值类型。
• 利用 $\acute{\text{e}}$tale 上同调与奇异上同调之间的比较同构，将单值表示与基本群的拓扑表示联系起来。
• 通过库恩佩特投影与相对上同调，从一族簇 $X/S$ 构造一族动机 $M_s = N_s(3)$。
• 应用 Tannaka 对偶性，证明对所有 $s \in \mathbb{Q} \setminus \mathrm{Exc}$，动机 $M_s$ 的 motivic Galois 群同构于 $G_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个定义在 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上的刚性局部系统，其单值群在 $G_2$ 中关于 Zariski 拓扑稠密？
• RQ2 此类刚性局部系统是否可借助中卷积函子 $\mathrm{MC}_\chi$ 构造？
• RQ3 是否存在 motivic Galois 群为 $G_2$ 类型的动机？
• RQ4 此类动机的存在性是否与 Grothendieck 的标准猜想一致？
• RQ5 能否通过代数几何中的几何构造实现动机的 motivic Galois 群为 $G_2$？

主要发现

• 本文在 $\varphi$ 与 $\eta$ 满足特定条件时，于 $\mathbb{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ 上构造了一个 $\acute{\text{e}}$tale 刚性局部系统 $\mathcal{H}(\varphi,\eta)$，其秩为 7，且单值群在 $G_2(\bar{\mathbb{Q}}_\ell)$ 中关于 Zariski 拓扑稠密。
• 在点 $0$ 处的局部单值为 $-\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{1}$，在点 $1$ 处为 $\mathrm{U}(2) \oplus \mathrm{U}(2) \oplus \mathrm{U}(3)$，在点 $\infty$ 处则依 $\varphi$ 与 $\eta$ 而变，包括 $\mathrm{U}(7)$ 及幂零表示的直和。
• 局部系统 $\mathcal{H}(\mathbf{1},\mathbf{1})$ 的单值表示在 $G_2(\bar{\mathbb{Q}}_\ell)$ 中关于 Zariski 拓扑稠密，此结论通过比较同构与 motivic Galois 群的 Tannaka 重构得以证明。
• 对所有 $s \in \mathbb{Q} \setminus \mathrm{Exc}$，动机 $M_s = N_s(3)$ 的 motivic Galois 群同构于 $G_2$，其中 $N_s$ 来自一族簇的 $\ell$-adic 上同调。
• 动机 $A_s$（即 $N_s$ 的特征部分的对偶）被证明是 Tate 拉伸 $({\rm Spec\,}(s), {\rm Id}, 3)$，从而确认 $M_s$ 的 motivic Galois 群为 $G_2$。
• 在 Grothendieck 的标准猜想下，具有 $G_2$ 类型 motivic Galois 群的动机的存在性得以确立，为 Serre 关于例外 motivic Galois 群的问题提供了部分解答。