[论文解读] Rigidity of closed CSL submanifolds in the unit sphere

Yong Luo, Linlin Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文建立了单位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 中闭合接触静止Legendrian（CSL）子流形的刚性定理，证明若第二基本形式的平方长度属于 $[0,2]$，则该子流形要么是全测地的，要么是平坦的极小Legendrian环面。该结果通过几何分析与Calabi积构造方法，将先前关于 $\mathbb{S}^5$ 中曲面的间隙定理推广至高维情形。

ABSTRACT

A contact stationary Legendrian submanifold (briefly, CSL submanifold) is a stationary point of the volume functional of Legendrian submanifolds in a Sasakian manifold. Much effort has been paid in the last two decades to construct examples of such manifolds, mainly by geometers using various geometric methods. But we have rare knowledge about their geometric properties till now. Recently, Y. Luo (\cite{ Luo2, Luo1}) proved that a closed CSL surface in $\mathbb{S}^5$ with the square length of its second fundamental form belonging to $[0,2]$ must be totally geodesic or be a flat minimal Legendrian torus, which generalizes a related gap theorem of minimal Legendrian surface due to Yamaguchi et al. (\cite{YKM}). In this paper, we will study the general dimensional case of this result.

研究动机与目标

• 将 $\mathbb{S}^5$ 中闭合极小Legendrian曲面的间隙定理推广至高维CSL子流形。
• 在点态有界 $|\mathbf{B}|^2$ 条件下，研究 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 中闭合CSL子流形的几何刚性。
• 在 $|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$ 的条件下，确定此类子流形是否必为全测地或平坦极小环面。
• 建立CSL子流形的Simons型不等式在高维情形的类比。

提出的方法

• 作者利用Calabi积构造方法，从低维子流形生成新的CSL子流形，同时保持CSL条件。
• 通过正交标架与复结构分解，推导出Calabi积的第二基本形式与平均曲率的显式公式。
• 分析依赖于刻画CSL子流形的Euler-Lagrange方程 $\operatorname{div}_g(\bar{J}\mathbf{H}) = 0$。
• 关键步骤包括计算积度量下第二基本形式的 $L^2$-范数 $|\mathbf{B}|^2_{\tilde{g}}$ 与平均曲率 $|\mathbf{H}|^2_{\tilde{g}}$。
• 应用适配于CSL情形的Simons型积分不等式，导出 $|\mathbf{B}|^2$ 的夹紧条件。
• 通过比较论证与推导不等式中的等号成立情形，对可能的子流形进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $|\mathbf{B}|^2$ 条件下，$\mathbb{S}^{2n+1}$ 中的闭合CSL子流形为全测地或平坦极小Legendrian环面？
• RQ2 能否将 $\mathbb{S}^5$ 中极小Legendrian曲面的间隙定理推广至高维CSL子流形？
• RQ3 Calabi积的几何与CSL条件之间的确切关系为何？
• RQ4 第二基本形式的 $L^2$-范数如何约束闭合CSL子流形的可能形状？
• RQ5 是否存在一个 $|\mathbf{B}|^2$ 的严格上界，使得在此界以下即发生刚性？

主要发现

• 在 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 中，若闭合CSL子流形满足 $|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$，则其必为全测地或平坦极小Legendrian环面。
• Calabi积构造保持CSL条件，且当且仅当基子流形为CSL时，所得子流形亦为CSL。
• 平均曲率向量 $\mathbf{H}$ 平行当且仅当基子流形的平均曲率向量平行。
• 第二基本形式的平方长度满足不等式 $$|\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} \geq \frac{(n-1)(n+2)}{n} + \frac{n^2+3n-2}{2n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{(n-1)(n-2)|\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|\sqrt{4n + |\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|^2}}{2n^2}$$，等号成立当且仅当 $|r_1| \leq \sqrt{n/(n+1)}$。
• 恒等式 $$|\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{3n-2}{n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{4(n-1)}{n} = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\frac{r_1^2}{r_2^2}$$ 成立，表明其与积参数存在直接依赖关系。
• 当基流形 $M$ 为全测地时，不等式变为紧致，且由等号条件可推出刚性。