[论文解读] Rigidity of Eigenvalues of Generalized Wigner Matrices

László Erdős, Horng‐Tzer Yau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 39被引用 43

一句话总结

本文建立了广义Wigner矩阵的强局部半圆律，证明了特征值以高概率严格分布在经典位置附近。该结果意味着局部特征值统计的普遍性，包括边缘普遍性，以及Dyson关于Dyson布朗运动松弛时间的猜想的成立。

ABSTRACT

Consider $N imes N$ hermitian or symmetric random matrices $H$ with independent entries, where the distribution of the $(i,j)$ matrix element is given by the probability measure $ν_{ij}$ with zero expectation and with variance $σ_{ij}^2$. We assume that the variances satisfy the normalization condition $\sum_{i} σ^2_{ij} = 1$ for all $j$ and that there is a positive constant $c$ such that $c\le N σ_{ij}^2 \le c^{-1}$. We further assume that the probability distributions $ν_{ij}$ have a uniform subexponential decay. We prove that the Stieltjes transform of the empirical eigenvalue distribution of $H$ is given by the Wigner semicircle law uniformly up to the edges of the spectrum with an error of order $ (N η)^{-1}$ where $η$ is the imaginary part of the spectral parameter in the Stieltjes transform. There are three corollaries to this strong local semicircle law: (1) Rigidity of eigenvalues: If $γ_j =γ_{j,N}$ denotes the {\it classical location} of the $j$-th eigenvalue under the semicircle law ordered in increasing order, then the $j$-th eigenvalue $λ_j$ is close to $γ_j$ in the sense that for any $ξ>1$ there is a constant $L$ such that \[\mathbb P \Big (\exists \, j : \; |λ_j-γ_j| \ge (\log N)^L \Big [ \min \big (\, j, N-j+1 \, \big) \Big ]^{-1/3} N^{-2/3} \Big) \le C\exp{\big[-c(\log N)^ξ \big]} \] for $N$ large enough. (2) The proof of the {\it Dyson's conjecture} \cite{Dy} which states that the time scale of the Dyson Brownian motion to reach local equilibrium is of order $N^{-1}$. (3) The edge universality holds in the sense that the probability distributions of the largest (and the smallest) eigenvalues of two generalized Wigner ensembles are the same in the large $N$ limit provided that the second moments of the two ensembles are identical.

研究动机与目标

• 为具有独立、非同分布条目的广义Wigner矩阵建立强局部半圆律。
• 解决关于非不变Wigner系综的块普遍性问题的Wigner–Dyson–Gaudin–Mehta猜想。
• 在对数修正范围内，证明Dyson关于Dyson布朗运动的$ N^{-1} $松弛时间尺度的猜想。
• 在二阶矩匹配条件下，建立广义Wigner系综的边缘普遍性。
• 通过局部松弛流与格林函数估计，提供一个统一的普遍性框架。

提出的方法

• 在斯蒂尔杰斯变换中推导出误差界为$ O((N\eta)^{-1}) $的局部半圆律，该结果在谱边附近依然有效。
• 引入一种新颖的局部松弛流，以模拟特征值的动力学行为，替代对高斯系综显式公式的依赖。
• 采用格林函数比较定理，将不同系综的特征值统计关联起来。
• 应用矩方法与累积量展开，以控制矩阵元素和特征值的波动。
• 引入格林函数的组合展开，以估计预解式展开中贡献项的数量。
• 在费曼图类图中的非位置顶点上使用加权计数方法，以界定展开中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Wigner矩阵的特征值能多精确地局域在经典半圆位置附近？
• RQ2 对于非不变Wigner系综，Dyson布朗运动的松弛时间尺度是什么？
• RQ3 在$ N $趋于无穷大时，两个广义Wigner系综的边缘特征值分布在何种条件下会一致？
• RQ4 是否可以在不依赖显式公式或不变性的情况下建立局部特征值统计的普遍性？
• RQ5 在谱的体部和边缘，局部半圆律的最优误差界是什么？

主要发现

• 经验特征值分布的斯蒂尔杰斯变换以误差$ O((N\eta)^{-1}) $一致收敛于Wigner半圆律，直至谱边。
• 特征值具有刚性分布：以高概率，$ |\lambda_j - \gamma_j| \leq (\log N)^{C\log\log N} \cdot \min(j, N-j+1)^{-1/3} N^{-2/3} $。
• Dyson布朗运动达到局部平衡的时间尺度为$ O(N^{-1}) $，在对数修正范围内，证实了Dyson的猜想。
• 边缘普遍性成立：若两个广义Wigner系综的二阶矩匹配，则其最大与最小特征值的极限分布相同。
• 局部松弛流方法提供了一种普遍的机制来实现特征值普遍性，其根源在于动力学的局部遍历性。
• 该证明建立了一个具有最优误差界的新格林函数比较定理，即使对于具有次指数尾部的非高斯、非i.i.d.条目也成立。