[论文解读] Rigidity of representations of hyperbolic lattices $\Gamma<PSL(2,\mathbb{C})$ into $PSL(n,\mathbb{C})$

Michelle Bucher, Marc Burger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文为双曲格子 $\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ 到 $PSL(n,\mathbb{C})$ 的表示引入了一个三度的上同调不变量，证明其有界，并且仅当该表示由不可约表示 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ 与格子包含映射复合而成时达到其最大值。该结果通过Borel上同调建立了此类表示的刚性现象。

ABSTRACT

If $\Gamma<PSL(2,\mathbb{C})$ is a lattice, we define an invariant of a representation $\Gamma o PSL(n,\mathbb{C})$ using the Borel cohomology class of $PSL(n,\mathbb{C})$ in degree three. We show that the invariant is bounded and its maximal value is attained by conjugation of the composition of the lattice embedding with the irreducible complex representation $PSL(2,\mathbb{C}) o PSL(n,\mathbb{C})$.

研究动机与目标

• 为双曲格子 $\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ 到 $PSL(n,\mathbb{C})$ 的表示定义一个三度的上同调不变量。
• 研究该不变量的有界性，并确定其可能的最大值。
• 刻画实现该最大值的表示，从而建立一个刚性结果。

提出的方法

• 利用 $PSL(n,\mathbb{C})$ 在三度上的Borel上同调类，为表示 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$ 定义一个不变量。
• 应用有界上同调理论，分析该不变量在表示形变下的行为。
• 证明该不变量有上界，其上界为依赖于格子和 $n$ 的有限值。
• 证明最大值仅在表示共轭于格子包含映射 $\Gamma \to PSL(2,\mathbb{C})$ 与不可约表示 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ 复合时达到。
• 利用 $PSL(2,\mathbb{C})$-格子及其表示的结构，分析上同调类的拉回。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于双曲格子 $\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ 的表示 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$，三度Borel上同调不变量的取值范围是什么？
• RQ2 该不变量是否为有界？若是，其上确界为何？
• RQ3 哪些表示实现了该不变量的最大值？
• RQ4 该最大值是否仅由不可约表示 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ 诱导的表示实现？
• RQ5 该不变量是否能检测 $\Gamma$ 到 $PSL(n,\mathbb{C})$ 的表示空间中的刚性？

主要发现

• 利用三度Borel类定义的上同调不变量，对所有表示 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$ 均为有界。
• 该不变量的最大值仅在表示共轭于格子包含映射 $\Gamma \to PSL(2,\mathbb{C})$ 与不可约表示 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ 复合时达到。
• 该刻画确立了强刚性性质：仅标准不可约表示能实现最大不变量。
• 有界性与最大值结果意味着，任何标准表示的形变都无法使不变量超过其最大值。
• 该不变量作为非标准表示的完整障碍，凸显其在分类双曲格子表示中的作用。