[论文解读] Rigidity of Scattering Lengths and Traveling Times for Disjoint Unions of Convex Bodies

Lyle Noakes, Luchezar Stoyanov|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文建立了 ℝᵈ（d ≥ 2）中具有 C³ 边界的严格凸体不相交并集的刚性结果：若两个此类障碍物的散射长度谱或传播时间几乎相同，则它们完全相同。关键结果证明，共轭的台球流意味着障碍物相等，从而在光滑性和严格凸性条件下解决了几何散射理论中长期存在的逆问题。

ABSTRACT

Obstacles $K$ and $L$ in $R^d$ ($d\geq 2$) are considered that are finite disjoint unions of strictly convex domains with $C^3$ boundaries. We show that if $K$ and $L$ have (almost) the same scattering length spectrum, or (almost) the same traveling times, then $K = L$.

研究动机与目标

• 解决从散射长度谱或传播时间恢复障碍物的逆问题。
• 建立具有 C³ 边界的有限个不相交严格凸体并集的刚性结果。
• 证明两个此类障碍物之间台球流的共轭性意味着其几何相等。
• 将先前关于解析边界的结果推广至 C³ 光滑类。
• 通过限制于凸的、不相交的并集，解决逆散射中的非唯一性问题。

提出的方法

• 将台球流用作外部区域余球丛上广义哈密顿流的模型。
• 应用两个障碍物 K 和 L 的外部区域之间流的辛共轭性。
• 通过轨迹中不规则点数量的归纳法使用反证法。
• 在切点和反射点附近构造局部微分同胚，以分析流的行为及相空间的连通分支。
• 利用连通分支的横截性和开性，证明轨迹不可能在不产生矛盾的情况下穿过奇异集。
• 利用共轭流保持反射点和切点结构的事实，从而推出边界的相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，散射长度谱能唯一确定 ℝᵈ 中不相交的严格凸体并集？
• RQ2 在凸体并集的外部，传播时间能否唯一恢复障碍物的几何结构？
• RQ3 在余球丛上台球流的共轭性是否意味着障碍物的几何相等？
• RQ4 与实解析或 C∞ 假设相比，C³ 边界正则性在刚性结果中起何种作用？
• RQ5 不规则点（切点与反射点）如何影响流的结构及障碍物几何的恢复？

主要发现

• 若两个障碍物 K 和 L 是有限个不相交的严格凸 C³ 区域的并集，且其外部相空间流共轭，则 K = L。
• 当 K 是有限个不相交的严格凸 C³ 体的并集时，散射长度谱（SLS）和传播时间唯一确定障碍物 K。
• 证明表明，在共轭条件下，不规则点（切点与反射点）集合必须为空，从而推出边界的相等。
• 通过反射点的稠密性及流行为的连续性，证明边界 ∂K 包含于 ∂L 且反之亦然，故 ∂K = ∂L。
• 该结果将先前针对实解析边界的刚性定理推广至 C³ 边界，扩大了适用范围。
• 该论证依赖于在奇异点附近通过局部微分同胚和连通分支分析，若存在不规则点则导出矛盾。