[论文解读] Rigidity of the mod 2 families Seiberg-Witten invariants and topology of families of spin 4-manifolds

Tsuyoshi Kato, Hokuto Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 7

一句话总结

该论文建立了关于自旋4-流形族的模2族Seiberg-Witten不变量的刚性定理，表明其仅依赖于线性化Seiberg-Witten方程通过虚拟指标丛的结构。论文证明了Furuta的10/8-不等式的族版本，由此导出新的不可光滑化拓扑族与作用的例子，并表明对于某些同胚于K3#nS²×S²且n≤3的4-流形M，包含映射Diff(M)↪Homeo(M)不是弱同伦等价。

ABSTRACT

We show a rigidity theorem for the Seiberg-Witten invariants mod 2 for families of spin 4-manifolds. A mechanism of this rigidity theorem also gives a family version of 10/8-type inequality. As an application, we prove the existence of non-smoothable topological families of 4-manifolds whose fiber, base space, and total space are smoothable as manifolds. These non-smoothable topological families provide new examples of 4-manifolds $M$ for which the inclusion maps $\operatorname{Diff}(M) \hookrightarrow \operatorname{Homeo}(M)$ are not weak homotopy equivalences. We shall also give a new series of non-smoothable topological actions on some spin 4-manifolds.

研究动机与目标

• 建立关于自旋4-流形族中模2族Seiberg-Witten不变量的刚性定理。
• 在适当的拓扑条件下，推导出Furuta的10/8-不等式的族版本。
• 构造新的不可光滑化拓扑族，其中纤维、基空间和全空间均为可光滑化的4-流形。
• 利用族10/8-不等式检测自旋4-流形上新的不可光滑化拓扑群作用。
• 证明对于某些与K3#nS²×S²同胚且n≤3的4-流形M，包含映射Diff(M)↪Homeo(M)不是弱同伦等价。

提出的方法

• 通过虚拟指标丛和正的第二贝蒂数条件，将模2族Seiberg-Witten不变量定义为Z/2中的元素。
• 从Dirac算子和基空间B上的H⁺丛构造等变指标丛α(X,s_X) ∈ KO_Pin(2)(B)。
• 通过证明FSW^Z2(X,s_X)仅依赖于α(X,s_X)而不依赖于高阶数据，建立刚性。
• 利用有理局部化和通用庞特里亚金类计算等变K-理论中的指标丛。
• 应用等变障碍理论分析族全空间中的光滑化障碍。
• 利用悬停同构和Bredon上同调计算障碍类及其在遗忘映射下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 模2族Seiberg-Witten不变量能否被线性化Seiberg-Witten方程刚性确定？
• RQ2 当b₊ ≥ dim B + 2时，自旋4-流形族的10/8-不等式的族版本是否成立？
• RQ3 能否构造出纤维、基空间和全空间均为可光滑化的4-流形的不可光滑化拓扑族？
• RQ4 此类不可光滑化族是否意味着对于某些4-流形，Diff(M)↪Homeo(M)不是弱同伦等价？
• RQ5 能否通过族10/8-不等式检测出自旋4-流形上新的不可光滑化拓扑作用？

主要发现

• 模2族Seiberg-Witten不变量FSW^Z2(X,s_X)完全由等变指标丛α(X,s_X) ∈ KO_Pin(2)(B)确定，从而证明了刚性定理。
• 在条件−sign(M_i)/4 −1 −b₊(M_i) + dim B = 0对i=1,2成立时，建立了10/8-不等式的族版本。
• 存在不可光滑化的4-流形族，其中纤维、基空间和全空间均为可光滑化的流形。
• 对于与K3#nS²×S²同胚且0≤n≤3的流形M，包含映射Diff(M)↪Homeo(M)不是弱同伦等价。
• 通过族10/8-不等式检测到自旋4-流形上新的不可光滑化拓扑作用系列。
• 在Z/2作用下，若流形可定向，则Bredon上同调中遗忘映射的像为2Z；若不可定向，则像为0。