[论文解读] Rigorous derivation of the Lighthill-Whitham-Richards~model from the follow-the-leader model as many particle limit

Marco Di Francesco, Massimiliano D. Rosini|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Traffic control and management参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文严格推导了微观跟驰模型（FTL）在粒子数趋于无穷时的宏观Lighthill-Whitham-Richards（LWR）交通流模型。通过离散BV估计和单边Oleinik型条件，证明了经验测度和离散密度分别在1- Wasserstein拓扑和L1_loc拓扑下收敛于LWR方程的唯一熵解，即使初始数据包含真空区域，且速度函数具有退化斜率的情形亦成立。

ABSTRACT

We prove that the unique entropy solution to the macroscopic Lighthill-Witham-Richards model for traffic flow can be rigorously obtained as the large particle limit of the microscopic follow-the-leader model, which is interpreted as the discrete Lagrangian approximation of the former. More precisely, we prove that the empirical measure (respectively the discretised density) obtained from the follow-the-leader system converges in the 1-Wasserstein topology (respectively in L1 loc) to the unique entropy solution of the Lighthill-Witham-Richards equation in the Kruzkov sense. The initial data are taken in L infinity with compact support, hence we are able to handle densities with vacuum. Our result holds for a reasonably general class of velocity maps (including all the relevant examples in the applications) with possible degenerate slope near the vacuum state. The proof of the result is based on discrete BV estimates and on a discrete version of the one-sided Oleinik-type condition. In particular, we prove that the L infinity to BV regularizing effect is intrinsic of the discrete model.

研究动机与目标

• 建立微观交通模型（跟驰模型）与宏观模型（Lighthill-Whitham-Richards模型）在粒子数趋于无穷时的严格联系。
• 证明从FTL系统出发的经验测度和离散密度收敛于LWR方程的唯一熵解。
• 处理具有紧支集的L∞类初始数据，包括真空情形，以及可能在真空附近出现退化的广义速度函数。
• 证明L∞到BV的正则化效应是离散FTL模型的内在性质。

提出的方法

• 将跟驰模型用作宏观LWR模型的离散拉格朗日近似。
• 应用离散BV估计以控制粒子系统的变差。
• 引入离散版本的单边Oleinik型条件，以确保熵条件满足。
• 在经验测度的1-Wasserstein拓扑和离散密度的L1_loc拓扑下进行收敛性分析。
• 采用Kruzkov意义下的熵解定义宏观极限。
• 通过仔细分析离散动力学，处理真空附近具有退化斜率的速度函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 LWR模型能否作为跟驰模型在粒子数趋于无穷时的严格极限被推导出来？
• RQ2 从FTL系统出发的经验测度是否在明确定义的拓扑下收敛于LWR方程的熵解？
• RQ3 L∞到BV的正则化效应在离散FTL模型中如何体现？
• RQ4 该收敛结果能否对包含真空的初始数据和广义速度函数成立？
• RQ5 离散单边Oleinik型条件是否足以在极限中保证熵条件满足？

主要发现

• 跟驰系统出发的经验测度在1-Wasserstein拓扑下收敛于LWR方程的唯一熵解。
• 离散密度在L1_loc拓扑下收敛于同一解。
• 该收敛性对具有紧支集的L∞类初始数据成立，包括真空情形。
• 该结果适用于广义速度函数类，包括在真空附近具有退化斜率的情形。
• 离散模型表现出内在的L∞到BV正则化效应，且该效应在极限中得以保持。
• 证明依赖于离散BV估计和离散版本的单边Oleinik型条件，以确保熵条件满足。