[论文解读] Rigorous error estimates for the memory integral in the Mori-Zwanzig formulation

Yuanran Zhu, Jason Dominy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 34被引用 4

一句话总结

本论文为Mori-Zwanzig形式化中的记忆积分提供了严格的误差估计，并提出了可证明收敛的近似方法，适用于状态空间和概率密度函数形式。论文建立了短记忆近似（包括$t$-模型和新型分层有限记忆方案）的收敛条件与误差界，并通过具有随机初值的线性和非线性系统进行了数值验证。

ABSTRACT

We develop rigorous error estimates and provably convergent approximations for the memory integral in the Mori-Zwanzig (MZ) formulation. The new theory is build upon rigorous mathematical foundations and it is presented for both state-space and probability density function space formulations of the MZ equation. In particular, we derive error bounds and sufficient convergence conditions for short-memory approximations, the $t$-model and new types of hierarchical finite-memory approximations. Numerical examples demonstrating convergence of the proposed algorithms are presented for linear and nonlinear dynamical systems evolving from random initial states.

研究动机与目标

• 为Mori-Zwanzig形式化中的记忆积分建立严格的数学误差界。
• 在状态空间和概率密度函数形式下，建立记忆项的可证明收敛近似方法。
• 推导短记忆近似（包括$t$-模型和新型分层有限记忆方案）的充分收敛条件。
• 通过具有随机初始状态的线性和非线性动力系统数值实验，验证理论收敛性。

提出的方法

• 通过在状态空间和概率密度函数形式下的严格数学分析，推导记忆积分的误差界。
• 引入并分析$t$-模型作为短记忆近似方法，其收敛条件已建立。
• 提出新型分层有限记忆近似方法，旨在改善收敛行为。
• 将理论应用于从随机初始条件演化而来的线性和非线性动力系统。
• 通过数值模拟展示所提近似方法的收敛性。
• 建立近似方法收敛至真实记忆积分的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Mori-Zwanzig形式化中，状态空间和PDF形式下的记忆积分的严格误差界是什么？
• RQ2 像$t$-模型这样的短记忆近似在何种条件下收敛至真实记忆积分？
• RQ3 如何构建分层有限记忆近似以确保收敛性并提高精度？
• RQ4 所提近似方法在具有随机初始条件的非线性系统中的收敛行为如何？

主要发现

• 论文为Mori-Zwanzig方程在状态空间和概率密度函数形式下的记忆积分建立了严格的误差界。
• 推导出$t$-模型近似的充分收敛条件，确保其在指定数学准则下的有效性。
• 提出了新型分层有限记忆近似方法，并证明其在所推导条件下的收敛性。
• 数值结果证实，所提算法在具有随机初始状态的线性和非线性系统中均表现出收敛性。