[论文解读] Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives

Fredrik Johansson|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

本文提出了一种严格、高精度的算法，利用欧拉-麦克劳林公式计算 Hurwitz zeta 函数 ζ(s,a) 及其导数，并提供可证明的误差界。该方法实现了对 Stieltjes 常数、Keiper-Li 系数以及黎曼 zeta 函数首个非平凡零点的创纪录计算，对 γ₁₀₀₀₀₀ 的计算精度达到 10,860 位有效数字，且误差控制得到验证。

ABSTRACT

We study the use of the Euler-Maclaurin formula to numerically evaluate the Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$ for $s, a \in \mathbb{C}$, along with an arbitrary number of derivatives with respect to $s$, to arbitrary precision with rigorous error bounds. Techniques that lead to a fast implementation are discussed. We present new record computations of Stieltjes constants, Keiper-Li coefficients and the first nontrivial zero of the Riemann zeta function, obtained using an open source implementation of the algorithms described in this paper.

研究动机与目标

• 开发一种数值严格、高精度的算法，用于计算 Hurwitz zeta 函数 ζ(s,a) 及其导数，并提供可证明的误差界。
• 扩展现有的欧拉-麦克劳林方法，以处理任意复数 s 和 a，以及任意阶 s 导数。
• 实现对特殊常数（如 Stieltjes 常数和 Keiper-Li 系数）的前所未有的高精度计算，并确保精度验证。
• 提供一个开源、高效的实现，适用于高精度算术与大规模计算。
• 克服中间计算中的病态性问题，避免在高精度计算中发生灾难性抵消。

提出的方法

• 将欧拉-麦克劳林求和公式应用于 Hurwitz zeta 函数，并通过积分余项实现解析延拓。
• 通过最大级数与周期性伯努利多项式有界性，严格推导余项积分 R 的误差界。
• 通过将 s 视为形式幂级数变量，计算 s 的导数，从而实现多个导数的同步计算。
• 通过形式幂级数复合，对 s=1 处的极点进行解析延拓，处理发散项 I。
• 高效实现采用二分拆分计算尾部求和，并利用快速多项式算术降低计算成本。
• 算法实现并行化并针对高精度算术进行优化，通过按项动态调整精度，减少内存与计算开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉-麦克劳林公式能否被适配，以对任意复数 s 和 a，以及任意阶导数，提供 Hurwitz zeta 函数及其导数的严格、可证明的误差界？
• RQ2 如何使 ζ(s,a) 的高精度计算在大精度、单点评估（如数百至数千位）下高效且可扩展？
• RQ3 该方法在计算 Stieltjes 常数与 Keiper-Li 系数的创纪录数值时，其性能与精度如何？
• RQ4 与现有算法相比，该方法在高精度算术下的速度、内存使用与可靠性方面表现如何？
• RQ5 该方法能否用于验证或证伪启发式近似公式，例如 Knessl-Coffey 提出的 Stieltjes 常数渐近公式？

主要发现

• 该方法计算了所有满足 n ≤ 100,000 的 Stieltjes 常数 γₙ，精度至少达到 10,860 位有效数字，其中 γ₁₀₀₀₀₀ 的计算结果为 1.991927306312541095658…×10⁸³⁴³²。
• 在 16 核系统上，计算所有满足 n ≤ 100,000 的 γₙ 耗时 26 小时，峰值内存使用 80 GiB，证明了大规模表格计算的可行性。
• Knessl-Coffey 近似公式在 n ≤ 100,000 范围内除 n=137 外，所有情况的符号均被验证正确，确认其准确性并附带严格误差界。
• 该实现可在 11 秒内完成对所有满足 n ≤ 1000 的 γₙ 的 1000 位精度计算，较 Mathematica 9.0 快近四个数量级。
• 该方法提供经验证的误差界，不同于以往依赖启发式估计的工作，确保了高精度算术下的正确性。