[论文解读] Rigorous numerics for PDEs with indefinite tail: existence of a periodic solution of the Boussinesq equation with time-dependent forcing

Aleksander Czechowski, Piotr Zgliczyński|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过严格数值方法，证明了在时间依赖强迫项下，不适定的Boussinesq方程存在光滑、经典、时间周期解。通过在Galerkin投影中构造自洽边界和周期隔离段，证明了在特定参数范围内此类解的存在性，包括解范数和傅里叶模态衰减速率的边界。

ABSTRACT

We consider the Boussinesq PDE perturbed by a time-dependent forcing. Even though there is no smoothing effect for arbitrary smooth initial data, we are able to apply the method of self-consistent bounds to deduce the existence of smooth classical periodic solutions in the vicinity of 0. The proof is non-perturbative and relies on construction of periodic isolating segments in the Galerkin projections.

研究动机与目标

• 证明尽管由于缺乏平滑效应而导致不适定，仍存在Boussinesq方程在时间依赖强迫下的光滑、经典、时间周期解。
• 将此前仅应用于耗散型偏微分方程的严格计算机辅助方法，拓展至具有不定尾部（鞍型）动力学的系统，其中同时存在强排斥和吸引方向。
• 开发并应用基于Galerkin投影中周期隔离段的拓扑方法，以证明非自治、不适定偏微分方程中周期解的存在性。
• 为包括β和ε在内的参数范围，提供解范数和傅里叶模态衰减速率的显式、验证性边界。

提出的方法

• 该方法采用Galerkin投影将PDE降维为有限维系统，随后利用区间算术构造自洽边界。
• 通过变量变换将系统转化为可借助拓扑论证构造周期隔离段的形式。
• 证明依赖于在区间算术中验证不等式(61)和(35)，以确认投影相空间中周期轨道的隔离性。
• 方法采用解的傅里叶系数六阶多项式衰减速率，以及其时间导数四阶衰减速率，以确保空间上的光滑性。
• 该方法为非微扰方法，通过利用向量场流下的拓扑不变性，适用于如Boussinesq方程这类具有不定尾部的系统。
• 计算使用CAPD软件包结合区间算术，以确保严格的误差控制和验证性边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格数值方法能否应用于证明缺乏平滑效应的不适定PDE中周期解的存在性？
• RQ2 周期隔离段方法是否可推广至如带时间依赖强迫的Boussinesq方程这类具有不定尾部的系统？
• RQ3 能否为这类系统中的周期解计算解范数和傅里叶衰减速率的验证性边界？
• RQ4 是否能够以非微扰方式建立强迫Boussinesq方程中光滑、经典解的存在性？

主要发现

• 当σ = 3，τ > 0，且f(t,x) ∈ ℱₜᴬ ∪ ℱₜᴮ时，对于β = 1.5、1.75和2.5，分别在ε ∈ [-0.05, 0.05]、[-0.1, 0.1]和[-0.3, 0.3]区间内，存在经典τ-周期解。
• 当β = 1.5且f ∈ ℱₜᴬ时，解满足||u(t,·)||_{L²} ≤ 0.28862115和||u(t,·)||_{C⁰} ≤ 0.12440683。
• 当β = 2.5且f ∈ ℱₜᴮ时，解满足||u(t,·)||_{L²} ≤ 0.84724825和||uₜ(t,·)||_{C⁰} ≤ 1.4795576。
• 解在空间上C⁴-光滑，在时间上C²-光滑，其傅里叶系数分别按O(1/k⁶)和O(1/k⁴)衰减。
• 存在性证明为非微扰方法，依赖于M = 6个模态和尾部s = 6衰减速率下的验证性区间算术计算。
• 该方法通过自洽边界和隔离段确认了周期解的存在性，即使在缺乏平滑效应的情况下亦成立。