[论文解读] Rigorous quantum field theory functional integrals over the p-adics I: anomalous dimensions

Abdelmalek Abdesselam, Ajay Chandra+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

advanced mathematical theories参考文献 61被引用 24

一句话总结

本文在3维p进数空间上严格构造了一个非高斯广义随机过程，通过一种新型的具有空间依赖耦合的重整化群（RG）形式化，确立了复合场具有动力学生成的异常维数的存在性。关键结果证实了K. G. 威尔逊四十余年前的预测，使用了一种类似Kœnigs定理的无限维部分线性化定理，以控制非平凡不动点附近的临界行为。

ABSTRACT

In this article we provide the complete proof of the result announced in arXiv:1210.7717 about the construction of scale invariant non-Gaussian generalized stochastic processes over three dimensional p-adic space. The construction includes that of the associated squared field and our result shows this squared field has a dynamically generated anomalous dimension which rigorously confirms a prediction made more than forty years ago, in an essentially identical situation, by K. G. Wilson. We also prove a mild form of universality for the model under consideration. Our main innovation is that our rigourous renormalization group formalism allows for space dependent couplings. We derive the relationship between mixed correlations and the dynamical systems features of our extended renormalization group transformation at a nontrivial fixed point. The key to our control of the composite field is a partial linearization theorem which is an infinite-dimensional version of the Koenigs Theorem in holomorphic dynamics. This is akin to a nonperturbative construction of a nonlinear scaling field in the sense of F. J. Wegner infinitesimally near the critical surface. Our presentation is essentially self-contained and geared towards a wider audience. While primarily concerning the areas of probability and mathematical physics we believe this article will be of interest to researchers in dynamical systems theory, harmonic analysis and number theory. It can also be profitably read by graduate students in theoretical physics with a craving for mathematical precision while struggling to learn the renormalization group.

研究动机与目标

• 在3维p进数空间上严格构造一个标度不变的非高斯广义随机过程。
• 证明复合场具有动力学生成的异常维数，确认威尔逊20世纪70年代的预测。
• 发展一种严格的重整化群形式化，允许空间依赖的耦合。
• 为所考虑的模型建立一种温和形式的普遍性。
• 提供算符乘积展开和复合场标度的非微扰、数学精确构造。

提出的方法

• 开发一种包含空间依赖耦合的扩展重整化群（RG）变换，以控制局部临界行为。
• 采用受复动力系统中Kœnigs定理启发的部分线性化定理，对非平凡不动点附近的RG映射进行线性化。
• 使用整体RG分析研究红外不动点及其稳定/不稳定流形，并给出定量横截性估计。
• 应用一系列函数估计，包括关键的稳定性界和高斯积分界，以控制RG流。
• 引入混合相关函数的生成函数形式化，并将其与RG变换的动力学联系起来。
• 建立RG映射的联合解析性，并利用巴拿赫空间上的微分学分析不动点附近标度场的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进数量子场论中，复合场是否表现出如威尔逊对实3D ϕ⁴ 模型所预测的动力学生成的异常维数？
• RQ2 能否构造一种严格的重整化群形式化，允许空间依赖耦合，同时保持对临界标度的控制？
• RQ3 异常维数是否独立于耦合参数的初始选择，表明一种普遍性形式？
• RQ4 在非高斯、标度不变的p进数场论中，算符乘积展开和复合场标度如何严格推导？
• RQ5 混合相关函数与非平凡不动点处RG变换的非线性动力学之间存在何种精确关系？

主要发现

• 本文证明了存在一个具有非零异常维数的复合场，确认了K. G. 威尔逊在20世纪70年代于本质上相同设定下的预测。
• 异常维数是动力学生成的，源于RG变换的非平凡不动点，而非高斯或平凡不动点。
• 作者建立了温和形式的普遍性：相关函数的生成函数仅依赖于不动点数据，而不依赖于RG流的初始条件。
• 关键技术创新是一项部分线性化定理，它将Kœnigs定理推广到无限维函数空间，从而实现了对非线性标度场的控制。
• 证明了在不动点处的RG映射的微分与不稳定流形横截，确保了标度场的非退化性。
• 给出了满足所有所需不等式的显式参数选择（例如，η=0，e₄=3/2，ρ′′=1/768），完成了构造。