[论文解读] Rigorous Runtime Analysis of MOEA/D for Solving Multi-Objective Minimum Weight Base Problems

Anh Viet Do, Aneta Neumann+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2023

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms被引用 8

一句话总结

论文对 MOEA/D 在多目标最小权重基问题上的运行时分析进行严格证明，对于两个目标证明了 2-近似，对于 k>2 的固定参数多项式时间，实验显示 MOEA/D 在双目标最小生成树实例上优于 GSEMO。

ABSTRACT

We study the multi-objective minimum weight base problem, an abstraction of classical NP-hard combinatorial problems such as the multi-objective minimum spanning tree problem. We prove some important properties of the convex hull of the non-dominated front, such as its approximation quality and an upper bound on the number of extreme points. Using these properties, we give the first run-time analysis of the MOEA/D algorithm for this problem, an evolutionary algorithm that effectively optimizes by decomposing the objectives into single-objective components. We show that the MOEA/D, given an appropriate decomposition setting, finds all extreme points within expected fixed-parameter polynomial time in the oracle model, the parameter being the number of objectives. Experiments are conducted on random bi-objective minimum spanning tree instances, and the results agree with our theoretical findings. Furthermore, compared with a previously studied evolutionary algorithm for the problem GSEMO, MOEA/D finds all extreme points much faster across all instances.

研究动机与目标

• 研究 matroid 基础问题上的多目标优化的动机并理解 MOEA/D 在多目标最小权重基问题上的性能。
• 表征非支配前沿的凸壳及其极点以推导近似保证。
• 在 oracle 模型下对 MOMWB 进行严格的 MOEA/D 运行时分析，并将发现与现有算法联系起来。

提出的方法

• 为 MOMWB 构建 Conv(F) 的性质以界定极点并将其与贪心最优性联系起来。
• 利用基元理论和贪心算法视角分析权重标量化子问题及其解映射。
• 在 oracle 模型下，给出具有适当分解的 MOEA/D 在预期固定参数多项式时间内找到所有极点（参数 = 目标数量）的结果。
• 提出确定性框架（算法 1 和算法 2）以计算极点并完成权衡集合，算法 3 概述 MOMWB 的 MOEA/D。
• 提供对充分权衡集合大小的理论界以及在相邻解之间 2-bit 翻转下解空间连通性的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过非支配前沿的凸壳解决多目标最小权重基问题时有什么近似保证？
• RQ2 MOEA/D 是否能够可靠地找到 MOMWB 的所有极点或代表性完整权衡集合，在怎样的运行时间条件下？
• RQ3 在一个权衡集上最小化标量化权重的预期时间是多少？它如何随目标数量的增加而扩展？
• RQ4 在双目标最小生成树实例上，MOEA/D 与 GSEMO 相比的实际表现如何？
• RQ5 作为问题参数的函数，MOMWB 会出现多少个极点？

主要发现

• 在具有适当分解的情况下，MOEA/D 能在 oracle 模型下的预期固定参数多项式时间内找到所有极点，参数为目标数量。
• 非支配前沿的凸壳对于两个目标具有 2-近似保证，扩展了既有结果。
• 对于 k>2 个目标，分析给出达到 k-近似的固定参数多项式期望运行时间。
• 连通性性质（2-汉明连通性）对基的情形成立，有助于通过 2-bit 翻转来枚举极点。
• 在随机双目标最小生成树实例上的实验表明，MOEA/D 在所有测试实例中均优于 GSEMO，在寻找极点方面表现更好。