[论文解读] Ring of Polytopes, Quasi-symmetric functions and Fibonacci numbers

Victor Matveevich Buchstaber, Н.Ю. Ероховец|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文引入了一个从组合凸多面体环到系数在 ℤ[α] 上的拟对称函数环的环同态，利用将多面体映射为其 k-余维面之和的算子 dₖ。关键结果是：在 ℚ 上，该同态的像是一个自由多项式代数，其第 n 个分次分量的维数等于第 n 个斐波那契数，从而导出了斐波那契生成函数的无限乘积表示。

ABSTRACT

In this paper we study the ring $\mathcal{P}$ of combinatorial convex polytopes. We introduce the algebra of operators $\mathcal{D}$ generated by the operators $d_k$ that send an $n$-dimensional polytope $P^n$ to the sum of all its $(n-k)$-dimensional faces. It turns out that $\mathcal{D}$ is isomorphic to the universal Leibnitz-Hopf algebra with the antipode $χ(d_k)=(-1)^kd_k$. Using the operators $d_k$ we build the generalized $f$-polynomial, which is a ring homomorphism from $\mathcal{P}$ to the ring $\Qsym[t_1,t_2,...][α]$ of quasi-symmetric functions with coefficients in $\mathbb Z[α]$. The images of two polytopes coincide if and only if their flag $f$-vectors are equal. We describe the image of this homomorphism over the integers and prove that over the rationals it is a free polynomial algebra with dimension of the $n$-th graded component equal to the $n$-th Fibonacci number. This gives a representation of the Fibonacci series as an infinite product. The homomorphism is an isomorphism on the graded group $BB$ generated by the polytopes introduced by Bayer and Billera to find the linear span of flag $f$-vectors of convex polytopes. This gives the group $BB$ a structure of the ring isomorphic to $f(\mathcal{P})$. We show that the ring of polytopes has a natural Hopf comodule structure over the Rota-Hopf algebra of posets. As a corollary we build a ring homomorphism $l_α\colon\mathcal{P} o\mathcal{R}[α]$ such that $F(l_α(P))=f(P)^*$, where $F$ is the Ehrenborg quasi-symmetric function.

研究动机与目标

• 建立从组合凸多面体环到系数在 ℤ[α] 上的拟对称函数环的环同态，使用面和算子 dₖ。
• 刻画该同态在整数和有理数上的像，特别是其分次结构。
• 证明在 ℚ 上，该同态的像是一个自由多项式代数，其分次分量的维数等于斐波那契数。
• 证明多面体环在局部序集的 Rota-Hopf 代数上具有 Hopf 余模结构。
• 提供一个准则，判断给定的拟对称多项式是否为多面体整系数组合的像，并将其与 g-定理和旗 f-向量联系起来。

提出的方法

• 定义组合凸多面体环 𝒫 和将 n 维多面体映射为其 (n−k) 维面之和的算子 dₖ 的代数 𝒟。
• 证明 𝒟 同构于带有对合 χ(dₖ) = (−1)ᵏdₖ 的通用 Leibnitz-Hopf 代数，并证明其作为 Milnor 模作用于 𝒫。
• 通过 α-特征与 𝒟 的对偶的包含构造广义 f-多项式 f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α]。
• 证明 f 是一个环同态，其核由具有相同旗 f-向量的多面体组成。
• 利用锥算子 C 和双锥算子 B 将它们的作用提升到拟对称函数环，保持 f-同态的性质。
• 建立等价于广义 Dehn-Sommerville 关系的函数方程，并推导出 f(𝒫 ⊗ ℚ) 作为自由多项式代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理数上，广义 f-多项式同态 f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α] 的像是什么结构？
• RQ2 多面体环如何与拟对称函数代数及通用 Leibnitz-Hopf 代数相关联？
• RQ3 能否用已知数列（如斐波那契数）描述 f(𝒫 ⊗ ℚ) 的分次分量？
• RQ4 什么条件决定了给定的拟对称多项式是多面体整系数组合的像？
• RQ5 多面体环在局部序集的 Rota-Hopf 代数上的 Hopf 余模结构如何与旗 f-向量和 g-定理相关联？

主要发现

• 广义 f-多项式同态 f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α] 的像是同构于 ℤ[α] 上的拟对称函数环，其核由具有相同旗 f-向量的多面体组成。
• 在有理数上，像 f(𝒫 ⊗ ℚ) 是一个自由多项式代数，其第 n 个分次分量的维数等于第 n 个斐波那契数 cₙ（c₀ = c₁ = 1，cₙ₊₁ = cₙ + cₙ₋₁）。
• 由此导出斐波那契生成函数的无限乘积表示：1/(1−t−t²) = ∏ᵢ₌₁^∞ 1/(1−tⁱ)ᵏⁱ，其中 kᵢ 是度数为 i 的生成元个数。
• 当 |t| < (√5−1)/2 时，该无限乘积绝对收敛，且指数 kᵢ 满足 kₙ₊₁ ≥ kₙ ≥ Nₙ−2，其中 Nₙ 是 n 的整数分拆数。
• Bayer 和 Billera 引入的多面体环 BB 在 f-同态下同构于 f(𝒫)，继承了其代数结构。
• 多面体环在局部序集的 Rota-Hopf 代数上具有自然的 Hopf 余模结构，并构造了一个环同态 lₐ: 𝒫 → ℛ[α]，使得 F(lₐ(P)) = f(P)*，其中 F 是 Ehrenborg 拟对称函数。