[论文解读] Rings of definition of smooth and proper dg-algebras

B. Toen|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了在交换环的滤子列极限上的光滑且有限型微分分次代数的同伦理论，等价于在各分量环上的同伦理论的列极限。关键结果是：任意关于交换环 $k$ 的光滑且有限型微分分次代数均可定义在有限型 $ℤ$-代数上，从而证实了Kaledin的猜想，并使得正特征技巧可应用于导出代数几何。

ABSTRACT

This is a companion paper to math.AT/0609762. For a filtered colimit of commutative rings k=colim k_i, we prove that the homotopy theory of smooth and proper dg-algebras over k is the colimit of the homotopy theories of smooth and proper dg-algebras over k_i. As a consequence, we deduce that any smooth and proper dg-algebra can be defined over a commutative Z-algebra of finite type.

研究动机与目标

• 建立关于交换环的滤子列极限上光滑且有限型微分分次代数的有限性性质。
• 解决Kaledin关于此类微分分次代数有限可定义性的猜想[Ka, 5.3]。
• 证明光滑且有限型微分分次代数的同伦理论与基环的滤子列极限可交换。
• 通过证明局部有限表现性，支持光滑且有限型微分分次代数模堆栈的几何性。
• 为通过约化到正特征研究Hodge-to-de Rham退化性奠定基础工具。

提出的方法

• 以交换环的滤子列极限作为基环，其中 $k = \mathrm{colim}_i k_i$。
• 利用关于同伦有限表示的微分分次代数的已知结果及其与光滑性和有限性的关系。
• 应用导出基变换函子 $- \otimes_k^\mathbb{L} k'$，将 $k_i$ 上的微分分次代数与 $k$ 上的微分分次代数联系起来。
• 利用在滤子列极限下，$k$-代数上的完美复形与完美模可通过导出基变换上拉的性质。
• 利用同伦范畴 $Ho(k\text{-}dg\text{-}alg)$ 的Karoubi包络性质来处理幂等元的提升。
• 通过基变换下完美模的导出范畴的等价性，证明本质满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个关于交换环 $k$ 的光滑且有限型微分分次代数是否都可定义在有限生成的 $ℤ$-代数上？
• RQ2 光滑且有限型微分分次代数的同伦理论是否与基环的滤子列极限可交换？
• RQ3 光滑且有限型微分分次代数的模堆栈是否局部有限表现？
• RQ4 光滑且有限型微分分次代数上的完美模的导出范畴是否可从有限生成基上提升？
• RQ5 沿滤子列极限的基变换函子是否保持光滑性与有限性？

主要发现

• 关于 $k = \mathrm{colim}_i k_i$ 的光滑且有限型微分分次代数的同伦理论，等价于在各 $k_i$ 上的同伦理论的列极限。
• 每个关于交换环 $k$ 的光滑且有限型微分分次代数均可定义在 $ℤ$-代数的有限型上。
• 基变换函子 $- \otimes_{k_i}^\mathbb{L} k$ 在光滑且有限型微分分次代数的同伦范畴上诱导出一个等价。
• 通过导出基变换，$k$-微分分次代数上的完美模可在滤子列极限下上拉。
• 关于 $k$ 上光滑且有限型微分分次代数的完美模的导出范畴，等价于在各 $k_i$ 上此类范畴的列极限。
• 光滑且有限型微分分次代数的模堆栈是局部有限表现的，支持其几何性质。