[论文解读] Rips complexes and covers in the uniform category

N. Brodskiy, Jerzy Dydak+2 more|ArXiv.org|Jun 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文通过Rips复形和链提升性质重新定义了均匀覆盖映射，引入了广义均匀路径和均匀可连通性作为基础概念。研究证明，均匀可连通空间（在度量情形下等价于带基点的1-可动紧致连通空间）具有行为良好的广义普遍覆盖理论，类似于经典拓扑学中的理论，解决了以往基于pro-离散作用的方法存在的局限性。

ABSTRACT

James \cite{Jam} introduced uniform covering maps as an analog of covering maps in the topological category. Subsequently Berestovskii and Plaut \cite{BP3} introduced a theory of covers for uniform spaces generalizing their results for topological groups \cite{BP1}-\cite{BP2}. Their main concepts are discrete actions and pro-discrete actions, respectively. In case of pro-discrete actions Berestovskii and Plaut provided an analog of the universal covering space and their theory works well for the so-called coverable spaces. As will be seen in Section ef{SECTION-Comparison}, \cite{BP3} generalizes only regular covering maps in topology and pro-discrete actions may not be preserved by compositions. In this paper we redefine the uniform covering maps and we generalize pro-discrete actions using Rips complexes and the chain lifting property. We expand the concept of generalized paths of Krasinkiewicz and Minc \cite{KraMin}.

研究动机与目标

• 为克服Berestovskii-Plaut的均匀覆盖理论的局限性，该理论无法保持复合性，且仅能推广正规覆盖。
• 发展一种均匀覆盖理论，将经典普遍覆盖空间构造推广至具有复杂局部结构的空间（如拓扑学家正弦曲线）。
• 引入一类新空间——均匀可连通空间，使得广义覆盖映射构造在该类空间上具有鲁棒性。
• 提供一个基于Rips复形和广义均匀路径的框架，确保提升函数为一致态射。
• 证明在度量紧致连通空间中，均匀可连通性与带基点的1-可动性一致，后者是已被充分理解的形变理论类。

提出的方法

• 使用Rips复形构造广义均匀路径空间，并赋予其自然的一致结构，该结构推广了经典普遍覆盖上的基本拓扑。
• 通过链提升性质以及对链和广义路径的提升的近似唯一性，定义广义均匀覆盖映射。
• 引入均匀可连通性的概念，即从广义路径空间到X的端点映射是广义均匀覆盖映射的条件。
• 将该理论应用于度量紧致连通空间，证明均匀可连通性等价于带基点的1-可动性，后者在连续映射下封闭，并包含平面子紧致连通空间。
• 将新框架与Berestovskii-Plaut的理论进行比较，表明pro-离散作用在复合下不保持，而新方法则保持。
• 使用形变理论工具并嵌入具有良好局部性质的空间，以定义广义路径，确保在嵌入下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种均匀覆盖理论，使其将经典普遍覆盖空间构造推广至非道路连通或非局部道路连通的空间？
• RQ2 为何Berestovskii-Plaut理论无法保持均匀覆盖的复合性？如何修正这一问题？
• RQ3 在何种自然的一致空间类中，广义普遍覆盖映射存在，且其提升性质与经典拓扑中的类似？
• RQ4 均匀可连通性与度量紧致连通空间中的形变理论概念（如带基点的1-可动性）有何关系？
• RQ5 是否存在广义路径空间上的一致结构，使其推广经典普遍覆盖上的基本拓扑？

主要发现

• 均匀可连通空间类将经典普遍覆盖空间构造推广至具有复杂局部结构的一致空间（如拓扑学家正弦曲线）。
• 在度量紧致连通空间中，均匀可连通性等价于带基点的1-可动性，后者是已被充分理解的类，包含夏威夷项结和康托集的悬垂空间。
• 从广义均匀路径空间到X的端点映射是广义均匀覆盖映射，当且仅当X是均匀可连通的。
• 该理论不依赖于群作用，与Berestovskii-Plaut的方法不同，且确保提升函数为一致态射。
• 构造了一个例子，表明即使对于离散覆盖，pro-离散覆盖的复合也不一定是pro-离散的，从而否定了先前工作中一个关键假设。
• 本文指出了文献[29]中一个证明的错误，表明在Berestovskii-Plaut构造下，即使在 entourages 构成基的情况下，普遍覆盖上的投影的满射性也可能不成立。