[论文解读] Risk quantification for the thresholding rule for multiple testing using Gaussian scale mixtures

Jean-Bernard Salomond|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 20被引用 8

一句话总结

该论文在高斯尺度混合先验下，通过阈值规则建立了多重检验的渐近风险界，表明这些连续先验可实现与spike-and-slab模型相当的极小化极大最优性。在先验的温和正则性条件下，证明了贝叶斯风险与频率学派风险均被紧密控制，且当信号足够大时，极小化极大风险趋于零。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic properties of Bayesian multiple testing procedures for a large class of Gaussian scale mixture pri- ors. We study two types of multiple testing risks: a Bayesian risk proposed in Bogdan et al. (2011) where the data are assume to come from a mixture of normal, and a frequentist risk similar to the one proposed by Arias-Castro and Chen (2017). Following the work of van der Pas et al. (2016), we give general conditions on the prior such that both risks can be bounded. For the Bayesian risk, the bound is almost sharp. This result show that under these conditions, the considered class of continuous prior can be competitive with the usual two-group model (e.g. spike and slab priors). We also show that if the non-zeros component of the parameter are large enough, the minimax risk can be made asymptotically null. The separation rates obtained are consistent with the one that could be guessed from the existing literature (see van der Pas et al., 2017b). For both problems, we then give conditions under which an adaptive version of the result can be obtained.

研究动机与目标

• 研究在一大类高斯尺度混合先验下，多重检验程序的渐近行为。
• 量化高维稀疏正态均值问题中，基于阈值规则的贝叶斯与频率学派风险。
• 建立基于单组先验的阈值规则风险趋近极小化极大风险的条件。
• 推导不需依赖真实稀疏度水平知识的自适应版本结果。
• 表明所提方法即使在无精确零点质量的情况下，也能实现近乎最优性能，而此类情况在spike-and-slab先验中通常存在。

提出的方法

• 采用高斯尺度混合先验框架，其中每个参数 $\theta_i$ 的边缘分布为正态分布，其方差 $\sigma_i^2$ 从混合分布 $\pi$ 中随机抽取。
• 基于后验收缩参数 $\kappa_i = \sigma_i^2 / (1 + \sigma_i^2)$ 应用阈值规则，当 $\mathbb{E}[\kappa_i | X_i] \geq 1/2$ 时设定 $\xi_i = 1$。
• 推导 $\theta_i$ 与 $\sigma_i^2$ 在 $X_i$ 条件下的后验分布，从而实现收缩与检验决策的计算。
• 利用集中不等式与尾部界控制假阳性与假阴性概率。
• 采用两阶段方法：首先为固定 $p_n$ 推导风险界，随后通过数据驱动的 $\hat{p}_n$ 适应未知稀疏度。
• 依赖对混合测度 $\pi$ 的条件，确保其尾部足够厚，以检测大信号，同时对小信号实现收缩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种先验分布 $\pi$ 条件下，基于高斯尺度混合的阈值规则可在多重检验中实现极小化极大风险？
• RQ2 此类阈值规则的贝叶斯风险与频率学派风险与理论极小化极大风险相比如何？
• RQ3 能否构建自适应程序，使其在不掌握真实稀疏度水平 $p_n$ 的前提下实现最优风险？
• RQ4 连续单组先验（如horseshoe）在多重检验中能在多大程度上匹配spike-and-slab先验的性能？
• RQ5 在何种分离率下，这些先验下的极小化极大风险可渐近趋于零？

主要发现

• 在先验的温和条件下，阈值规则的贝叶斯风险有界且近乎精确，显示出强有力的理论依据。
• 在相同条件下，频率学派风险同样有界，且界与文献中已知的极小化极大率一致。
• 当非零信号足够大时，极小化极大风险可渐近趋于零，表明可实现一致检测。
• 检测的分离率与文献中已知结果一致，如 van der Pas 等 (2017b) 的结果。
• 构建了自适应程序，其风险界与已知结果一致，且无需依赖 $p_n$ 的知识，仅使用数据驱动的 $\hat{p}_n$。
• 通过后验收缩的尾部界控制了假阳性与假阴性率，其依赖关系明确体现于 $p_n/n$ 与信号强度上。