[论文解读] Risk-sensitive performance criteria and robustness of quantum systems with a relative entropy description of state uncertainty

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

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一句话总结

本文通过利用系统-环境状态偏差的相对熵描述，将原始量子风险敏感代价泛函与二次-指数泛函（QEF）联系起来，建立了量子风险敏感控制与状态不确定性鲁棒性之间的联系。推导了QEF的积分-微分方程，并表明最小化QEF等价于在不确定性下最小化风险敏感代价，其中风险敏感参数通过量子相对熵控制鲁棒性，从而为鲁棒量子控制提供了一个有原则的框架。

ABSTRACT

This paper considers links between the original risk-sensitive performance criterion for quantum control systems and its recent quadratic-exponential counterpart. We discuss a connection between the minimization of these cost functionals and robustness with respect to uncertainty in system-environment quantum states whose deviation from a nominal state is described in terms of the quantum relative entropy. These relations are similar to those in minimax LQG control for classical systems. The results of the paper can be of use in providing a rational choice of the risk-sensitivity parameter in the context of robust quantum control with entropy theoretic quantification of statistical uncertainty in the system-field state.

研究动机与目标

• 建立开放量子谐振子（OQHOs）中量子风险敏感性能准则与状态不确定性鲁棒性之间的理论联系。
• 分析原始量子风险敏感代价与二次-指数泛函（QEF）之间的关系，证明在特定条件下二者等价。
• 证明最小化QEF等价于在不确定性下最小化风险敏感代价，其中风险敏感参数通过量子相对熵量化鲁棒性。
• 基于基于熵的不确定性量化，为鲁棒量子控制中风险敏感参数的合理选择提供理论基础。

提出的方法

• 通过涉及系统变量二次型积分的指数的时变密度算符变换，推导QEF的积分-微分方程。
• 引入基于密度算符幺正变换的改进量子期望算符，其定义基于二次型积分指数的平方根。
• 利用系统变量的两点对易关系（CCR矩阵）将QEF的时间演化表达为过去系统轨迹的函数。
• 通过引入时变算符 $ V_{\theta}(t) $，建立原始风险敏感代价与QEF之间的联系，确保该算符保持幺正性并使两个泛函等价。
• 应用量子 Itô 微积分和满足 CCR 的二次算符的李代数结构，推导QEF的演化方程。
• 证明QEF的演化由包含过去系统变量和两点 CCR 矩阵的时变自伴算符的修正期望所控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在开放量子谐振子背景下，原始量子风险敏感代价与二次-指数泛函（QEF）之间有何关系？
• RQ2 QEF 的最小化能否被解释为对系统-环境状态偏差的鲁棒性准则，其度量方式为量子相对熵？
• RQ3 风险敏感参数在控制量子系统对状态不确定性的鲁棒性方面起什么作用？
• RQ4 原始风险敏感代价泛函在何种条件下重现QEF？其中涉及的幺正变换有何意义？
• RQ5 两点对易关系矩阵 $ \Lambda(\tau) $ 如何影响QEF和风险敏感代价的动力学？

主要发现

• QEF 满足一个积分-微分方程，其形式为时变自伴算符 $ \Psi_{\theta}(t) $ 的修正量子期望，该算符依赖于系统的过去轨迹和两点 CCR 矩阵。
• QEF 的演化由 $ (\ln \Xi_{\theta}(t))^{\cdot} = \theta \, \mathbf{E}_{\theta,t} \Psi_{\theta}(t) $ 控制，其中 $ \mathbf{E}_{\theta,t} $ 是基于密度算符 $ \rho_{\theta,t} $ 的变换期望。
• 当驱动过程 $ C(t) $ 通过幺正算符 $ V_{\theta}(t) $ 与 $ \Psi_{\theta}(t) $ 相关时，原始风险敏感代价泛函 $ E_{\theta}(t) $ 被证明可重现 QEF $ \Xi_{\theta}(t) $，并确保 $ V_{\theta}(t) $ 始终保持幺正性。
• 算符 $ \Psi_{\theta}(t) $ 不一定是半正定的，这反映了量子变量的非对易性以及高阶矩的复杂性。
• 风险敏感参数 $ \theta $ 控制对系统变量的指数惩罚，并通过量子相对熵量化不确定性，从而控制鲁棒性。
• 研究结果建立了风险敏感控制与状态不确定性鲁棒性之间的正式等价关系，为基于熵的不确定性边界选择 $ \theta $ 提供了理论依据。