[论文解读] Robust a posteriori error estimation for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Alex Bespalov+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对参数依赖线弹性问题中不确定弹性模量的随机伽辽金混合有限元方法（SG-MFEMs）的鲁棒后验误差估计框架。该方法提供了与泊松比和离散化参数无关的可靠且高效的误差界，实现了自适应加密，且在可压缩与不可压缩极限下均能保持接近于1的效果性指数。

ABSTRACT

The focus of this work is a posteriori error estimation for stochastic Galerkin approximations of parameter-dependent linear elasticity equations. The starting point is a three-field PDE model in which the Young's modulus is an affine function of a countable set of parameters. We analyse the weak formulation, its stability with respect to a weighted norm and discuss approximation using stochastic Galerkin mixed finite element methods (SG-MFEMs). We introduce a novel a posteriori error estimation scheme and establish upper and lower bounds for the SG-MFEM error. The constants in the bounds are independent of the Poisson ratio as well as the SG-MFEM discretisation parameters. In addition, we discuss proxies for the error reduction associated with certain enrichments of the SG-MFEM spaces and we use these to develop an adaptive algorithm that terminates when the estimated error falls below a user-prescribed tolerance. We prove that both the a posteriori error estimate and the error reduction proxies are reliable and efficient in the incompressible limit case. Numerical results are presented to validate the theory. All experiments were performed using open source (IFISS) software that is available online.

研究动机与目标

• 解决在参数依赖线弹性问题中，随机伽辽金混合有限元方法的可靠且高效后验误差估计挑战。
• 开发一种在不可压缩极限下仍保持鲁棒的误差估计策略，以克服标准方法因锁定现象而失效的问题。
• 通过提供空间与参数维数中不同丰富化策略的误差减少代理，实现自适应加密。
• 确保误差估计器与误差减少代理具有可靠性与高效性，且其常数与泊松比及离散化参数无关。

提出的方法

• 采用具有仿射参数化弹性模量的三场混合PDE系统，建立参数依赖线弹性问题的弱形式。
• 引入加权范数以分析稳定性，并推导适用于随机伽辽金离散化的弱形式。
• 提出一种新颖的后验误差估计器，基于空间与参数分量中的残差误差贡献。
• 推导SG-MFEM误差的上界与下界，其常数与泊松比及网格/参数化参数无关。
• 构建误差减少代理，用于指导自适应丰富化，通过估计增加新空间或参数自由度可能带来的误差减少量。
• 实现一种自适应算法，当估计误差低于用户定义的容差时终止，利用误差估计器与代理指导加密过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有参数依赖材料属性的线弹性问题中的随机伽辽金混合有限元方法构建鲁棒的后验误差估计器？
• RQ2 所提出的误差估计器是否在可压缩与不可压缩极限下均保持可靠性与高效性，特别是在泊松比趋近于0.5时？
• RQ3 误差减少代理能否有效用于指导空间与参数维数中的自适应丰富化？
• RQ4 自适应算法的收敛率是否与泊松比及参数系数的衰减速率无关？
• RQ5 误差估计器的效果性指数是否在整个自适应加密过程中始终保持接近于1？

主要发现

• 所提出的后验误差估计器对SG-MFEM误差提供了上界与下界，其常数与泊松比及离散化参数无关。
• 误差估计器在所有自适应加密步骤中均保持接近于1的效果性指数，证实了其可靠与高效。
• 在可压缩情形（ν = 0.4）中，空间误差贡献主导误差估计；而在近不可压缩情形（ν = 0.49999）中，参数误差贡献成为主导。
• 自适应算法在自由度总数上的收敛率为O(n⁻¹/²)，与泊松比无关。
• 在慢衰减情形（σ̃ = 2）中，近不可压缩情形下的活跃参数数量显著更高，表明参数复杂度更高。
• 在快衰减情形（σ̃ = 4）中，相同自由度数量下激活的参数更少，证实参数衰减速率影响自适应策略的效率。