[论文解读] Robust Algorithms for the Secretary Problem

Domagoj Bradač, Anupam Gupta+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出了拜占庭秘书问题（Byzantine Secretary problem），这是经典秘书问题的一种鲁棒变体，其中对抗性‘红色’元素会破坏随机到达顺序，而‘绿色’元素仍以均匀随机方式到达。作者提出了能够实现近似最优性能的算法，其比较基准为从最优绿色集合中减去最大绿色元素值，从而在单件和背包两种设置下均对对抗性异常值具备鲁棒性。

ABSTRACT

In classical secretary problems, a sequence of $n$ elements arrive in a uniformly random order, and we want to choose a single item, or a set of size $K$. The random order model allows us to escape from the strong lower bounds for the adversarial order setting, and excellent algorithms are known in this setting. However, one worrying aspect of these results is that the algorithms overfit to the model: they are not very robust. Indeed, if a few "outlier" arrivals are adversarially placed in the arrival sequence, the algorithms perform poorly. E.g., Dynkin's popular $1/e$-secretary algorithm fails with even a single adversarial arrival. We investigate a robust version of the secretary problem. In the Byzantine Secretary model, we have two kinds of elements: green (good) and red (rogue). The values of all elements are chosen by the adversary. The green elements arrive at times uniformly randomly drawn from $[0,1]$. The red elements, however, arrive at adversarially chosen times. Naturally, the algorithm does not see these colors: how well can it solve secretary problems? We give algorithms which get value comparable to the value of the optimal green set minus the largest green item. Specifically, we give an algorithm to pick $K$ elements that gets within $(1-\varepsilon)$ factor of the above benchmark, as long as $K \geq \mathrm{poly}(\varepsilon^{-1} \log n)$. We extend this to the knapsack secretary problem, for large knapsack size $K$. For the single-item case, an analogous benchmark is the value of the second-largest green item. For value-maximization, we give a $\mathrm{poly} \log^* n$-competitive algorithm, using a multi-layered bucketing scheme that adaptively refines our estimates of second-max over time. For probability-maximization, we show the existence of a good randomized algorithm, using the minimax principle.

研究动机与目标

• 解决经典秘书算法在随机顺序模型下受到对抗性扰动时的脆弱性问题。
• 设计在恒定比例的到达元素被对抗性放置（红色项目）而其余元素（绿色项目）仍以均匀随机方式到达时依然有效的算法。
• 建立一个鲁棒的性能基准，通过从最大绿色项目值中减去该值，反映序列决策中的后悔最小化与公平性。
• 将鲁棒性扩展至背包秘书问题，并涵盖价值最大化与概率最大化两种目标。
• 通过极小化-极大原理与离散化技术，证明存在竞争性算法。

提出的方法

• 提出拜占庭秘书模型，包含两类元素：绿色（随机到达）与红色（对抗性到达），其数值均由对手选择。
• 引入一个性能基准，将算法结果与最优绿色集合减去其最大元素的值进行比较，从而实现对异常值的鲁棒性。
• 使用多层分桶机制估计单件情况下的第二高绿色值，实现poly(log* n)-竞争力。
• 将连续时间区间[0,1]离散化为N = n³个点，使可能的历史记录与算法集合变为有限，从而可应用冯·诺依曼的极小化-极大定理。
• 利用极小化-极大原理证明存在用于概率最大化的良好随机算法，即使未显式构造出该算法。
• 将该框架扩展至背包秘书问题，当背包大小K ≥ poly(ε⁻¹ log n)时，实现对基准的(1−ε)-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计出在恒定比例的到达元素被对抗性放置时仍保持竞争力的秘书算法，即使这些元素破坏了随机顺序假设？
• RQ2 在存在对抗性异常值的情况下，一个有意义的鲁棒性能基准是什么？我们能否相对于该基准实现近似最优？
• RQ3 在单件和背包秘书问题中，我们能否实现对最优绿色集合减去最大元素值的(1−ε)-近似？
• RQ4 是否存在一个poly(log* n)-竞争力的算法，用于解决单件拜占庭秘书问题中的价值最大化问题？
• RQ5 我们能否通过博弈论原理证明存在一个良好的随机算法用于概率最大化？

主要发现

• 论文证明，即使红色项目比例很小，也几乎不可能选择出最高价值的红色集合或单个最大绿色元素。
• 在单件情况下，通过使用多层分桶机制估计第二高绿色值，设计出针对价值最大化的poly(log* n)-竞争力算法。
• 对于背包秘书问题且背包大小K ≥ poly(ε⁻¹ log n)的情况，论文实现了对最优绿色集合减去最大元素值这一基准的(1−ε)-近似。
• 尽管未显式构造出算法，但通过极小化-极大原理证明了存在一个用于概率最大化的良好随机算法。
• 通过将时间区间[0,1]离散化为n³个点，作者将算法与输入的无限空间缩减为有限集合，从而使得冯·诺依曼极小化-极大定理得以应用。