[论文解读] Robust analytic continuation of Green's functions via projection, pole estimation, and semidefinite relaxation

Zhen Huang, Emanuel Gull+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2022

Control Systems and Identification被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于量子多体系统中格林函数鲁棒解析延拓的投影-估计-半定松弛（PES）方法。通过将含噪的Matsubara数据投影到因果空间，利用AAA算法估计极点位置，并应用半定松弛拟合，PES仅使用双精度算术即可实现对谱函数的精确、抗噪重建——尤其适用于费米子和玻色子系统中的尖锐特征。

ABSTRACT

Green's functions of fermions are described by matrix-valued Herglotz-Nevanlinna functions. Since analytic continuation is fundamentally an ill-posed problem, the causal space described by the matrix-valued Herglotz-Nevanlinna structure can be instrumental in improving the accuracy and in enhancing the robustness with respect to noise. We demonstrate a three-pronged procedure for robust analytic continuation called PES: (1) Projection of data to the causal space. (2) Estimation of pole locations. (3) Semidefinite relaxation within the causal space. We compare the performance of PES with the recently developed Nevanlinna and Carathéodory continuation methods and find that PES is more robust in the presence of noise and does not require the usage of extended precision arithmetics. We also demonstrate that a causal projection improves the performance of the Nevanlinna and Carathéodory methods. The PES method is generalized to bosonic response functions, for which the Nevanlinna and Carathéodory continuation methods have not yet been developed. It is particularly useful for studying spectra with sharp features, as they occur in the study of molecules and band structures in solids.

研究动机与目标

• 解决量子多体系统中解析延拓的根本不适定性问题，特别是针对含噪的Matsubara数据。
• 克服现有方法（如MaxEnt、Padé以及Nevanlinna/Carathéodory方法）在噪声、因果性违反或需要扩展精度算术方面的局限性。
• 开发一种方法，在保持因果性（通过矩阵值Herglotz-Nevanlinna结构）的同时具备抗噪能力，并适用于对角与非对角格林函数分量。
• 将因果解析延拓的适用范围扩展至玻色子响应函数，其中Nevanlinna与Carathéodory方法尚未被推广。
• 实现从含噪有限温数据中高保真度地恢复分子与固体中的能带结构和尖锐峰等谱特征。

提出的方法

• 使用强制满足Herglotz-Nevanlinna结构的投影算子，将含噪的Matsubara数据投影到因果空间，确保物理一致性。
• 对投影后的数据应用自适应Antoulas–Anderson（AAA）算法，估计复平面上的极点位置，为谱特征提供鲁棒的初始猜测。
• 通过双层优化框架执行半定松弛（SDR）拟合，在因果空间内重构格林函数，最小化数据偏差的同时保持解析结构。
• 采用矩阵值Herglotz-Nevanlinna表示法参数化格林函数，确保因果性及谱函数的半正定性。
• 通过修改因果空间定义以允许上半平面内的极点，将方法推广至玻色子系统，使其不仅适用于费米子系统。
• 以模块化方式实现该方法：每一步（投影、极点估计、SDR）均可独立使用，以增强其他解析延拓方法的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合投影、极点估计与半定松弛的三步流程，是否能在不依赖扩展精度算术的前提下，实现对含噪Matsubara格林函数的鲁棒解析延拓？
• RQ2 因果投影在噪声条件下在多大程度上提升了Nevanlinna与Carathéodory延拓等现有方法的稳定性和准确性？
• RQ3 PES框架能否推广至尚未发展此类因果延拓方法的玻色子响应函数？
• RQ4 在不同噪声水平下，PES在恢复硅与AgI等实际材料中的能带隙和范霍夫奇点等尖锐谱特征方面表现如何？
• RQ5 PES在重构具有多重特征与高频分量的谱函数时表现如何，尤其与MaxEnt和Padé方法相比？

主要发现

• PES方法成功使用双精度算术完成了对含噪Matsubara数据的解析延拓，消除了Nevanlinna与Carathéodory方法所需的128位或更高精度运算。
• 即使在σ = 10⁻²的高噪声水平下，PES仍能准确恢复硅与AgI的能带结构和带隙，展现出对显著噪声的鲁棒性。
• 仅使用因果投影即可显著提升Nevanlinna与Carathéodory方法的性能，在噪声场景下仍能减少非因果结果的负谱函数分量。
• PES方法比MaxEnt与Padé方法更准确地重构出分子体系与固态能带结构中的尖锐谱特征，尤其在分辨多重峰方面表现更优。
• 该方法适用于费米子与玻色子系统，通过将因果空间形式化以允许上半平面内的极点，成功推广至玻色子响应函数。
• 对投影数据应用AAA算法可提供稳定且精确的极点位置初始估计，显著提升SDR拟合步骤的收敛性与鲁棒性。