[论文解读] Robust and MaxMin Optimization under Matroid and Knapsack Uncertainty Sets

Anupam Gupta, Viswanath Nagarajan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了在拟阵和背包不确定集下，针对最大最小值与鲁棒优化问题的近似算法，利用覆盖问题的确定性在线算法。研究发现，当底层覆盖问题存在良好的在线算法时，即使对于非亚模函数（如集合覆盖和多边切割问题），最大最小值与鲁棒版本的近似比也仅依赖于在线比值 p（针对 p-系统）和 q（针对背包），并可实现近似。

ABSTRACT

Consider the following problem: given a set system (U,I) and an edge-weighted graph G = (U, E) on the same universe U, find the set A in I such that the Steiner tree cost with terminals A is as large as possible: "which set in I is the most difficult to connect up?" This is an example of a max-min problem: find the set A in I such that the value of some minimization (covering) problem is as large as possible. In this paper, we show that for certain covering problems which admit good deterministic online algorithms, we can give good algorithms for max-min optimization when the set system I is given by a p-system or q-knapsacks or both. This result is similar to results for constrained maximization of submodular functions. Although many natural covering problems are not even approximately submodular, we show that one can use properties of the online algorithm as a surrogate for submodularity. Moreover, we give stronger connections between max-min optimization and two-stage robust optimization, and hence give improved algorithms for robust versions of various covering problems, for cases where the uncertainty sets are given by p-systems and q-knapsacks.

研究动机与目标

• 解决非亚模覆盖函数（如集合覆盖和多边切割）的受限最大最小值优化问题。
• 通过利用确定性在线算法的性质作为亚模性的替代，将近似技术扩展至非亚模函数。
• 为基于 p-系统和 q 个背包的不确定集定义的鲁棒优化问题，提供新的近似保证。
• 通过揭示共享的算法技术，弥合最大最小值优化与两阶段鲁棒优化之间的鸿沟。
• 证明即使对于非亚模覆盖函数，在存在良好在线算法的前提下，仍可在组合约束下高效优化。

提出的方法

• 将覆盖问题的确定性在线算法的竞争比作为最大最小值优化中亚模性的代理。
• 将最大最小值问题转化为具有两阶段决策与通胀参数的鲁棒优化框架。
• 通过原始对偶或贪心式方法构造解，模拟第一阶段的在线行为，并在第二阶段进行自适应调整。
• 应用已知的在线算法（例如集合覆盖、斯坦纳树、最小割问题）推导鲁棒与最大最小值变体的近似因子。
• 利用概率树嵌入技术，将一般度量近似为树度量，从而为斯坦纳问题实现亚模近似。
• 通过分层或迭代舍入方法结合 p-系统与 q-背包约束，以保持可行性与近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标函数非亚模（如集合覆盖或多边切割）时，能否为最大最小值优化问题获得良好的近似比？
• RQ2 在覆盖问题中，确定性在线算法的性能在多大程度上可被用于求解鲁棒与最大最小值变体？
• RQ3 当不确定集由 p-系统与 q 个背包定义时，鲁棒覆盖问题可获得哪些近似保证？
• RQ4 在线算法的竞争比在最大最小值与鲁棒设置中如何影响近似因子？
• RQ5 是否存在仍可在 p-系统与背包约束下获得良好近似算法的非亚模函数？

主要发现

• 最小集合覆盖函数不是 o(n)-近似亚模的，表明亚模性方法无法直接用于此类问题。
• 最小多边切割函数不是 o(n^{1/3})-近似亚模的，进一步凸显了亚模近似在覆盖问题中的局限性。
• 在 p-系统与 q-背包不确定集下，集合覆盖的鲁棒问题具有 O(pq·log²m·log n)-近似比，基于已知的在线与离线比值。
• 对于斯坦纳树/森林问题，鲁棒问题达到 O(pq·log n)-近似比，利用了 O(log n)-竞争比的在线算法。
• 对于最小割问题，鲁棒问题具有 O(pq·log³n·log log n)-近似比，源自 O(log³n·log log n)-竞争比的在线算法。
• 对于多边切割问题，鲁棒问题实现 O(pq·log⁴n·log log n)-近似比，利用了高竞争比的在线算法。