[论文解读] Robust approachability and regret minimization in games with partial monitoring
本文提出了「鲁棒可逼近性」——一种针对部分监控博弈中奖励模糊且以集合形式表示的在线学习新框架。该框架提供了简单、时间复杂度恒定的算法，实现了可逼近性与后悔最小化，并给出了明确的收敛速率，将布莱克韦尔的可逼近性理论扩展至部分监控设置，提供了高效且构造性的解决方案。
Approachability has become a standard tool in analyzing earning algorithms in the adversarial online learning setup. We develop a variant of approachability for games where there is ambiguity in the obtained reward that belongs to a set, rather than being a single vector. Using this variant we tackle the problem of approachability in games with partial monitoring and develop simple and efficient algorithms (i.e., with constant per-step complexity) for this setup. We finally consider external regret and internal regret in repeated games with partial monitoring and derive regret-minimizing strategies based on approachability theory.
研究动机与目标
- 解决重复博弈中奖励无法直接观测、仅能通过噪声信号推断的挑战。
- 克服以往方法依赖于概率测度提升或网格细化所带来的计算复杂度问题，避免指数级复杂度。
- 提出一种新的可逼近性理论变体——「鲁棒可逼近性」，以处理以集合形式表示的奖励模糊性，实现在不确定性下对向量值结果的控制。
- 为部分监控博弈中的可逼近性与后悔最小化，设计构造性、高效的算法，每步计算复杂度恒定。
- 推导出外部与内部后悔最小化的显式收敛速率，且该速率与博弈结构无关，与先前结果相当或更优。
提出的方法
- 提出一种新的可逼近性框架，决策者接收一组可能的奖励（表示模糊性），而非单一向量，从而实现对期望结果的鲁棒控制。
- 通过基于存在某一方向可确保收敛至目标集合的几何条件，刻画该鲁棒设置下可逼近的凸集。
- 设计一种简单、恒定复杂度的算法，采用基于投影的更新规则，即使在奖励模糊的情况下，也能将平均奖励引导至目标集合。
- 通过假设决策者混合动作的凹性及自然方行动的凸性，将框架扩展至非线性奖励函数，提升适用范围。
- 利用双分段线性信号结构设计高效策略，避免对概率测度进行提升或网格细化。
- 应用鲁棒可逼近性框架，推导出外部与内部后悔最小化的策略，基于对平均收益向量的几何控制。
实验结果
研究问题
- RQ1可逼近性理论能否推广至奖励以集合形式表示而非精确向量的场景？
- RQ2能否为部分监控博弈中的可逼近性设计出高效、恒定复杂度的算法，避免先前基于提升方法的指数级复杂度？
- RQ3鲁棒可逼近性能否用于推导部分监控博弈中外部与内部后悔最小化的显式收敛速率？
- RQ4如何利用部分监控博弈中信号结构的几何特性，设计高效的后悔最小化策略？
- RQ5是否可能通过更简单、直接的基于可逼近性的证明，实现与Lugosi等人（2008）等先进方法相当的后悔最小化速率？
主要发现
- 本文提出了一种新框架——鲁棒可逼近性，将布莱克韦尔的可逼近性理论推广至集合值奖励的场景，实现了在模糊性下的控制能力。
- 提供了一种构造性算法，每步计算复杂度恒定，优于以往需依赖网格细化或概率测度提升的方法。
- 该方法实现了与博弈结构无关的收敛速率，与布莱克韦尔原始结果相似，但适用于更一般的部分监控设置。
- 在外部后悔最小化方面，该方法实现了与Lugosi等人（2008）相当的速率，但通过基于可逼近性的直接几何证明实现。
- 在具有双分段线性信号结构的博弈中，算法实现了高效的后悔最小化，无需迭代细化或复杂的概率空间提升。
- 通过Bernstein-Freedman不等式，建立了高概率下的理论保证，确保经验信号与期望值之间的偏差有界。
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