[论文解读] Robust Assignments via Ear Decompositions and Randomized Rounding

David Adjiashvili, Viktor Bindewald+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种鲁棒分配问题（RAP），其中在解决方案部署后可能发生边故障，要求找到一个最小成本的边集合，使得在任何单一故障场景下仍能保持可行的分配。该文提出了一种结合耳分解和随机舍入的近似算法，对一般 RAP 实例实现了渐近紧致的性能保证。

ABSTRACT

Many real-life planning problems require making a priori decisions before all parameters of the problem have been revealed. An important special case of such problem arises in scheduling problems, where a set of tasks needs to be assigned to the available set of machines or personnel (resources), in a way that all tasks have assigned resources, and no two tasks share the same resource. In its nominal form, the resulting computational problem becomes the \emph{assignment problem} on general bipartite graphs. This paper deals with a robust variant of the assignment problem modeling situations where certain edges in the corresponding graph are \emph{vulnerable} and may become unavailable after a solution has been chosen. The goal is to choose a minimum-cost collection of edges such that if any vulnerable edge becomes unavailable, the remaining part of the solution contains an assignment of all tasks. We present approximation results and hardness proofs for this type of problems, and establish several connections to well-known concepts from matching theory, robust optimization and LP-based techniques.

研究动机与目标

• 解决在某些边（资源-任务分配）可能在部署后发生故障的系统中，做出可靠且事前确定的分配决策的挑战。
• 制定一种鲁棒的分配问题变体（RAP），使得解决方案在给定的一组边子集故障场景中的任意单一故障下仍保持可行。
• 为 RAP 开发一种具有可证明良好性能保证的近似算法，尤其适用于一般二分图。
• 建立 RAP 与经典匹配理论概念之间的理论联系，包括匹配覆盖图和耳分解。
• 提供近似与难解性结果，以刻画在边故障下鲁棒分配问题的计算复杂性。

提出的方法

• 将鲁棒分配问题（RAP）建模为带权二分图，以及一组故障场景，每个场景删除边的一个子集。
• 利用耳分解刻画匹配覆盖图的结构，这类图在构建鲁棒解中起核心作用。
• 对分配问题应用线性规划松弛，并使用随机舍入将分数解转换为整数鲁棒分配。
• 利用耳分解图中交替路径和禁止配对的性质，确保在单边或小边集故障下的鲁棒性。
• 构建从基图中一条路径到扩展图中一条优美路径的变换，从而实现保持鲁棒性的匹配扩展。
• 证明：在变换图中存在一条可行路径，可通过在剩余节点上构造匹配并扩展路径，对应于一个鲁棒解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边故障场景下，鲁棒分配问题（RAP）的计算复杂性如何？
• RQ2 能否为 RAP 设计一种具有可证明性能保证的多项式时间近似算法？
• RQ3 经典匹配理论概念（如耳分解和匹配覆盖图）与鲁棒分配解之间有何关系？
• RQ4 对一般 RAP 实例，可达到的近似比的紧致性如何？
• RQ5 该框架能否扩展以处理节点故障或边-节点混合故障？

主要发现

• 本文证明了鲁棒分配问题（RAP）是 NP-难的，即使在单边故障的情况下也是如此。
• 开发了一种近似算法，对一般 RAP 实例实现了渐近紧致的近似比 O(log n)。
• 该算法结合耳分解技术和基于线性规划的随机舍入，构造出在任意单一故障场景下仍保持可行性的鲁棒解。
• 一个关键的结构结果表明：当且仅当在移除路径后，剩余图中存在可行匹配时，基图中的一条路径才对应于扩展图中的一条优美路径。
• 该构造确保在移除路径后，二分图每部分中未匹配节点的数量保持平衡，从而能够将匹配扩展以覆盖所有节点。
• 该框架在鲁棒性与匹配覆盖图中交替路径的存在性之间建立了紧密联系，通过从 RPFP 问题的规约得到验证。