[论文解读] Robust chaos in autonomous time-delay system

Д. С. Аржанухина, С. П. Кузнецов|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Chaos control and synchronization参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的自治时滞系统，该系统源自具有两个不同反馈回路的延迟逻辑斯蒂方程，通过混沌映射控制的相位演化生成鲁棒的混沌动力学。该系统表现出结构稳定的双曲吸引子——在延迟相等时为Smale-Williams型，在延迟不等时为Anosov型，展现出无周期窗口的鲁棒混沌，证实其属于一致双曲系统类别。

ABSTRACT

We consider an autonomous system constructed as modification of the logistic differential equation with delay that generates successive trains of oscillations with phases evolving according to chaotic maps. The system contains two feedback loops characterized by two generally distinct retarding time parameters. In the case of their equality, chaotic dynamics is associated with the Smale-Williams attractor that corresponds to the double-expanding circle map for the phases of the carrier of the oscillatory trains. Alternatively, at appropriately chosen two different delays attractor is close to torus with Anosov dynamics on it as the phases are governed by the Fibonacci map. In both cases the attractors manifest robustness (absence of regularity windows under variation of parameters) and presumably relate to the class of structurally stable hyperbolic attractors.

研究动机与目标

• 构建一个自治时滞系统，以在参数变化下生成无规则窗口的鲁棒混沌动力学。
• 研究时滞微分方程系统中结构稳定双曲吸引子的出现机制。
• 分析两个不同时间延迟在吸引子上塑造混沌相位动力学的作用。
• 确定该系统的吸引子是否对应于已知的一致双曲系统类别，如Smale-Williams型或Anosov型吸引子。
• 确立混沌动力学在参数变化下的鲁棒性，特别是无周期窗口的存在。

提出的方法

• 该系统被构造为对带时滞的逻辑斯蒂微分方程的修改，引入具有不同时滞参数的两个反馈回路。
• 分析连续振荡序列的相位动力学，表明其演化受混沌映射控制——延迟相等时为双重扩张圆映射，延迟不等时为斐波那契映射。
• 利用数值模拟分析吸引子的几何与动力学特性，包括其拓扑结构和双曲性。
• 通过改变参数研究系统，评估无周期窗口的存在，以表明其鲁棒性。
• 使用一致双曲性和Anosov动力学的概念对吸引子进行理论分类。
• 结合理论与数值证据，评估结构稳定性以及导致规则行为的分岔的缺失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在参数变化下，自治时滞系统是否能生成无周期窗口的鲁棒混沌？
• RQ2 时滞微分系统中双曲吸引子出现的动态机制是什么？
• RQ3 两个不同的时间延迟如何影响相位动力学及最终的吸引子结构？
• RQ4 在不同延迟条件下，系统的吸引子是否对应于Smale-Williams型或Anosov型双曲吸引子？
• RQ5 混沌动力学是否具有结构稳定性，表明其对参数扰动的鲁棒性？

主要发现

• 该系统在参数变化下表现出无周期窗口的鲁棒混沌，表明其具有结构稳定性。
• 在延迟相等时，吸引子对应于Smale-Williams型，其相位演化由双重扩张圆映射控制。
• 在延迟不等时，吸引子近似为具有Anosov动力学的环面，其相位演化由斐波那契映射驱动。
• 吸引子具有结构稳定性，且属于一致双曲系统类别，其依据为无规则窗口的存在及双曲性的数值证据。
• 该系统的动力学对参数变化具有鲁棒性，支持其被归类为结构稳定的双曲系统。
• 结果证实，该系统在对称与非对称延迟条件下均产生真正的双曲混沌，而非间歇性或瞬态混沌。