[论文解读] Robust Discrete Pricing Optimization via Multiple-Choice Knapsack Reductions

Zi Yuan Eric Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2026

Supply Chain and Inventory Management被引用 0

一句话总结

本文将带边际和公平约束的离散投资组合定价问题归约为多选背包问题（MCKP），并提出带 Gamma-预算鲁棒性的扩展，结合基于 hull 的 LP 分析，得到一个精确的鲁棒解框架和可加性误差界限。

ABSTRACT

We study a discrete portfolio pricing problem that selects one price per product from a finite menu under margin and fairness constraints. To account for demand uncertainty, we incorporate a budgeted robust formulation that controls conservatism while remaining computationally tractable. By reducing the problem to a Multiple-Choice Knapsack Problem (MCKP), we identify structural properties of the LP relaxation, in particular upper-hull filtering and greedy filling over hull segments, that yield an exact solution method for the LP relaxation of the fixed-parameter subproblems. For the resulting fixed-parameter subproblems, we show that the integrality gap is bounded additively by a single-item hull jump, and that the corresponding relative gap decays as O(1/n) under standard boundedness and linear-growth assumptions. Numerical experiments on synthetic portfolios and a stylized retail case study with economically calibrated parameters are consistent with these bounds and indicate that robust margin protection can be achieved with less than 1 percent nominal revenue loss on the instances tested.

研究动机与目标

• 用带利润率和公平性约束的离散投资组合定价问题进行形式化。
• 展示将定价模型等同地精确归约为一个多选背包问题（MCKP）。
• 引入 Gamma-预算鲁棒扩展并证明一个参数分解，使得能够构造一个利用结构特征的求解框架。
• 建立固定参数子问题的整性缺口界，以及分析线性规划松弛性质。
• 通过数值实验展示在不确定性下的 nominal 收入损失较小，体现实际鲁棒性。

提出的方法

• 通过基线–松弛变换将利润可行性约束转化为一个背包约束和每个项仅有一个选取，从而将定价问题化为 MCKP。
• 在 Gamma-预算不确定性集下定义鲁棒约束，并通过一维参数惩罚 beta(x, Gamma) 推导等价的鲁棒对偶形式。
• 提供使得参数分解成为固定 theta 重写的对偶表示。
• 利用每个项可行点的上包络几何结构，将线性规划松弛简化为在 hull 段上的贪心填充。
• 证明线性规划解在最多一个混合项的情况下成立，并推导与最大 hull 跃变 Delta V_max^theta 相关的可加整性缺口界，给出相对缺口 O(1/n) 的结果。
• 给出算法 1：对一个有限集合枚举 theta，通过 hull-贪心求解固定 theta 的 LP，并进行离散回收（单项舍入和可选修复）。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散投资组合定价问题在利润率和公平性约束下如何（精确地）归约为像 MCKP 这样的组合优化模型？
• RQ2 Gamma 预算鲁棒性如何影响定价模型，最坏情况约束是否能够分解以实现可行的求解方法？
• RQ3 可以利用 MCKP 的 LP 松弛的哪些结构性质来设计适用于大型投资组合的高效鲁棒算法？
• RQ4 在 Gamma-预算鲁棒性下，固定参数子问题的整性缺口界是多少，它们如何随投资组合规模扩展？
• RQ5 鲁棒定价方法在实际中是否能以最小的 nominal 收入损失提供有意义的利润保护？

主要发现

• 在利润可行性约束经过 Baseline–Slack 转换后，该问题可以被形式化为 MCKP。
• 在 Gamma-预算鲁棒性下，鲁棒约束可通过一个一维枚举的参数分解化简为有限断点集的求解。
• 固定参数子问题的 LP 松弛具有上包络结构，允许在 hull 段上贪心填充，且最多有一个项可以混合。
• 可加整性缺口界由最大 hull 跃变 Delta V_max^theta 给出，在标准假设下相对缺口为 O(1/n)。
• 数值实验表明在测试实例中鲁棒利润保护成本低于 nominal 收入的 1%，验证了实际有效性。