[论文解读] Robust Draws in Balanced Knockout Tournaments

Krishnendu Chatterjee, Rasmus Ibsen-Jensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Sports Analytics and Performance参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文研究了在成对胜率出现微小扰动时，平衡淘汰赛（BKT）中最优抽签结果的鲁棒性。提出了一个多项式时间算法，用于近似小误差 𝜀 下抽签的鲁棒性，并证明了鲁棒锦标赛固定问题（RTFP）和鲁棒概率锦标赛固定问题（RPTFP）为 NP-完全问题，同时在两种特殊情况下提供了多项式时间解法：玩家类型数量恒定，以及例外数量较少的线性排序。

ABSTRACT

Balanced knockout tournaments are ubiquitous in sports competitions and are also used in decision-making and elections. The traditional computational question, that asks to compute a draw (optimal draw) that maximizes the winning probability for a distinguished player, has received a lot of attention. Previous works consider the problem where the pairwise winning probabilities are known precisely, while we study how robust is the winning probability with respect to small errors in the pairwise winning probabilities. First, we present several illuminating examples to establish: (a)~there exist deterministic tournaments (where the pairwise winning probabilities are~0 or~1) where one optimal draw is much more robust than the other; and (b)~in general, there exist tournaments with slightly suboptimal draws that are more robust than all the optimal draws. The above examples motivate the study of the computational problem of robust draws that guarantee a specified winning probability. Second, we present a polynomial-time algorithm for approximating the robustness of a draw for sufficiently small errors in pairwise winning probabilities, and obtain that the stated computational problem is NP-complete. We also show that two natural cases of deterministic tournaments where the optimal draw could be computed in polynomial time also admit polynomial-time algorithms to compute robust optimal draws.

研究动机与目标

• 研究最优锦标赛抽签对成对胜率微小误差的敏感性。
• 确定最优抽签是否具有鲁棒性，或是否存在子最优抽签在扰动下反而更鲁棒。
• 形式化并研究在存在微小误差时，寻找能保证最低胜率的抽签结果的计算复杂度。
• 开发高效算法，用于近似小 𝜀 下抽签的鲁棒性。
• 识别出在哪些特殊锦标赛结构中，可高效计算出鲁棒的最优抽签。

提出的方法

• 将特定选手的胜率建模为成对胜率 P_ij 的多重线性多项式。
• 使用泰勒展开近似 𝜀-扰动下胜率的最坏下降幅度。
• 推导出最坏下降幅度在渐近意义上等于 𝜀 乘以胜率对每个 P_ij 的绝对偏导数之和。
• 通过计算胜率线性近似中系数 α_ij 的绝对值之和，来计算抽签的鲁棒性。
• 采用递归的 O(N²) 算法计算每个 P_ij 的 α_ij，从而实现 O(N⁴) 时间内计算总鲁棒性。
• 将鲁棒锦标赛固定问题（RTFP）归约为经典 TFP 问题，以证明其 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在确定性 BKT 中，最优抽签在成对胜率出现微小扰动时，是否可能显著不如其他抽签鲁棒？
• RQ2 在概率性 BKT 中，是否存在子最优抽签比所有最优抽签都更鲁棒？
• RQ3 在存在成对胜率微小误差的情况下，寻找能保证指定胜率的抽签结果的计算复杂度是什么？
• RQ4 对于足够小的 𝜀 > 0，能否高效近似抽签的鲁棒性？
• RQ5 是否存在某些特殊锦标赛结构，使得鲁棒最优抽签可在多项式时间内计算？

主要发现

• 存在确定性锦标赛，其中一种最优抽签的鲁棒性下降约 N𝜀/2，而另一种仅下降 log N · 𝜀，显示出显著的鲁棒性差异。
• 存在概率性锦标赛，其中子最优抽签比所有最优抽签都更鲁棒，挑战了‘最优性即鲁棒性’的假设。
• 对于足够小的 𝜀 > 0，可通过胜率函数的绝对偏导数之和，以多项式时间近似抽签的鲁棒性。
• 鲁棒锦标赛固定问题（RTFP）和鲁棒概率锦标赛固定问题（RPTFP）均为 NP-完全问题。
• 对于两种特殊情况——玩家类型数量恒定，以及例外数量较少的线性排序——存在多项式时间算法，可计算或近似最鲁棒的胜率抽签。
• 鲁棒性度量在渐近意义上等于 𝜀 乘以胜率函数线性近似中绝对系数之和。