[论文解读] Robust Equilibria in Concurrent Games

Romain Brenguier|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Game Theory and Applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了多人并发均值支付博弈中的鲁棒均衡，其中策略组合对小型联盟的偏离具有鲁棒性，并对有害偏离具有免疫性。本文提出了两种算法方法：一种将无记忆鲁棒均衡问题归约为实数存在性理论，另一种通过将多人博弈转化为两人博弈，证明了存在性问题在 PSPACE 内可判定，且该问题为 PSPACE 完全。

ABSTRACT

We study the problem of finding robust equilibria in multiplayer concurrent games with mean payoff objectives. A $(k,t)$-robust equilibrium is a strategy profile such that no coalition of size $k$ can improve the payoff of one its member by deviating, and no coalition of size $t$ can decrease the payoff of other players. We are interested in pure equilibria, that is, solutions that can be implemented using non-randomized strategies. We suggest a general transformation from multiplayer games to two-player games such that pure equilibria in the first game correspond to winning strategies in the second one. We then devise from this transformation, an algorithm which computes equilibria in mean-payoff games. Robust equilibria in mean-payoff games reduce to winning strategies in multidimensional mean-payoff games for some threshold satisfying some constraints. We then show that the existence of such equilibria can be decided in polynomial space, and that the decision problem is PSPACE-complete.

研究动机与目标

• 解决在具有均值支付目标的多人并发博弈中，寻找对小型联盟偏离具有鲁棒性且免疫于有害偏离的策略组合的挑战。
• 确定在一般情况下该问题不可判定的前提下，鲁棒均衡存在性的算法判定条件。
• 提出两种受限但具有实际意义的方法：一种基于无记忆策略，另一种基于随机化变换。
• 在这些限制条件下，确立鲁棒均衡存在性问题的计算复杂度。

提出的方法

• 将判定无记忆 $(k,t)$-鲁棒均衡存在的问题归约为实数存在性理论中的公式，从而支持代数决策过程。
• 提出一种从多人并发博弈到两人博弈的一般性变换，使得原博弈中的纯均衡对应于变换后博弈中的获胜策略。
• 利用该变换证明鲁棒均衡的存在性问题在多项式空间内可判定。
• 通过从实数理论归约并使用量子布尔公式（QBF）的博弈论编码，证明该决策问题为 PSPACE 完全。
• 采用包含玩家 Eve（存在量词）、Adam（全称量词）和文字玩家的游戏结构，将量化布尔公式编码为博弈结果。
• 定义策略组合，通过约束联盟偏离行为来强制实现鲁棒性和免疫性，确保不存在有利或有害的偏离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否算法化地判定无记忆 $(k,t)$-鲁棒均衡的存在性？若可，其计算复杂度如何？
• RQ2 能否将多人并发博弈中鲁棒均衡的存在性问题归约为具有已知可判定性质的两人博弈问题？
• RQ3 在并发均值支付博弈中，判定 $(k,t)$-鲁棒均衡存在的问题是否可判定？其复杂度如何？
• RQ4 当策略被限制为无记忆策略时，能否将鲁棒均衡存在性问题归约为实数存在性理论中的公式？
• RQ5 在允许随机化的情况下，鲁棒均衡存在性问题的计算复杂度如何？将博弈转化为两人博弈的变换如何影响该复杂度？

主要发现

• 通过将问题归约为实数存在性理论中的公式，可以判定无记忆 $(k,t)$-鲁棒均衡的存在性。
• 在允许随机化的情况下，并发均值支付博弈中鲁棒均衡的存在性问题为 PSPACE 完全。
• 从多人并发博弈到两人博弈的一般性变换保持了纯均衡的存在性，从而可通过两人博弈求解器实现可判定性。
• 一般情况下，$(k,t)$-鲁棒均衡的存在性是不可判定的，但在无记忆或随机化策略限制下变为可判定。
• 本文构建了将量化布尔公式（QBF）编码为并发博弈的博弈论方法，证明当且仅当公式有效时，存在 $(n+1)$-鲁棒均衡。
• 从 QBF 到鲁棒均衡问题的归约证明了该决策问题为 PSPACE 难，而通过两人博弈变换建立了 PSPACE 上界。