[论文解读] Robust estimation in time series with long and short memory properties

Valdério Anselmo Reisen, Fabio Fajardo Molinares|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在ARFIMA模型中对分数差分参数 $d$ 进行鲁棒估计的方法，通过使用鲁棒自协方差函数来减轻加法型异常值带来的偏差。结果表明，该鲁棒估计器对异常值具有鲁棒性，且在一阶差分下保持不变性，在存在异常值的有限样本中，其偏差和均方误差显著低于经典的GPH估计方法。

ABSTRACT

This paper reviews recent developments of robust estimation in linear time series models, with short and long memory correlation structures, in the presence of additive outliers. Based on the manuscripts Fajardo et al. (2009) and Lévy-Leduc et al. (2011a), the emphasis in this paper is given in the following directions; the influence of additive outliers in the estimation of a time series, the asymptotic properties of a robust autocovariance function and a robust semiparametric estimation method of the fractional parameter d in ARFIMA(p, d, q) models. Some simulations are used to support the use of the robust method when a time series has additive outliers. The invariance property of the estimators for the first difference in ARFIMA model with outliers is also discussed. In general, the robust long-memory estimator leads to be outlier resistant and is invariant to first differencing.

研究动机与目标

• 研究加法型异常值对ARFIMA模型中分数参数 $d$ 估计的影响。
• 考察时间序列中短记忆与长记忆相关结构下鲁棒自协方差函数的渐近性质。
• 开发并评估一种对加法型异常值具有鲁棒性的 $d$ 的半参数估计器。
• 评估ARFIMA模型中鲁棒估计器在一次差分下的不变性特性。
• 通过模拟和对巴西IGP-DI通货膨胀数据的实际应用，展示鲁棒方法的实际效用。

提出的方法

• 采用基于Lévy-Leduc等（2011a）提出的鲁棒自协方差函数，旨在降低极端值的影响。
• 将鲁棒自协方差应用于零频率附近的谱密度估计，从而实现 $d$ 的鲁棒半参数估计。
• 使用基于鲁棒谱密度估计的Geweke-Porter-Hudak（GPH）方法计算 $d$ 的估计值。
• 通过 $m' = n^\alpha$ 选择带宽，其中 $\alpha \in \{0.5, 0.6, 0.7, 0.8\}$，以评估不同平滑水平下的鲁棒性。
• 在模拟数据和真实数据上比较经典GPH与鲁棒GPH估计器（GPHR_P、GPHR_TH、GPHR_B、GPHR）。
• 通过将疑似异常值替换为样本均值的方式对数据进行变换，以评估估计器对异常值的敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 加法型异常值如何影响经典GPH估计器对分数参数 $d$ 的偏差和均方误差（MSE）？
• RQ2 鲁棒自协方差函数在短记忆与长记忆时间序列中的渐近性质是什么？
• RQ3 对ARFIMA模型而言，$d$ 的鲁棒估计器是否对一阶差分具有不变性？
• RQ4 在存在异常值的有限样本中，鲁棒估计器相对于经典GPH估计器的表现如何？
• RQ5 在存在潜在异常值的真实世界数据中，鲁棒估计是否能在不同带宽下提供稳定可靠的 $d$ 估计？

主要发现

• 经典GPH估计器对异常值高度敏感：当 $n=300$ 时，MSE从修正数据的0.0117上升至原始数据的0.1211，表明存在显著偏差。
• 鲁棒GPHR估计器在不同带宽下保持稳定；当 $n=800$ 时，原始数据的MSE为0.0042，修正数据为0.0544，显示出良好的鲁棒性。
• 在IGP-DI应用中，经典GPH估计值在原始数据中从 $\alpha=0.5$ 时的0.0757大幅上升至 $\alpha=0.8$ 时的0.3759，而鲁棒估计器则保持一致。
• 鲁棒估计器（如 $d_{GPHR_{TH}}$）在原始数据和修正数据中对不同带宽均给出相似的估计值，证实了其稳定性和鲁棒性。
• 鲁棒估计器对一阶差分具有不变性，这通过模拟中差分前后 $d$ 估计值的一致性得到验证。
• 鲁棒方法显著降低了偏差和MSE：当 $n=300$ 时，偏差从经典的0.3230降至鲁棒估计的0.0273，MSE从0.1211降至0.0127。