[论文解读] Robust Exponential Attractors for Coleman--Gurtin Equations with Dynamic Boundary Conditions Possessing Memory

Joseph L. Shomberg|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文建立了具有记忆项和动态边界条件的Coleman–Gurtin热方程的鲁棒、Hölder连续的指数吸引子的存在性。通过分析奇异摄动的记忆核，作者证明了在整个相空间中对这些有限维集合的指数吸引，确保了全局吸引子的存在性以及在扰动下的鲁棒性。

ABSTRACT

The well-posedness of a generalized Coleman--Gurtin equation equipped with dynamic boundary conditions with memory was recently established by the author with C.G. Gal. In this article we report advances concerning the asymptotic behavior and stability of this heat transfer model. For the model under consideration, we obtain a family of exponential attractors that is robust/Hölder continuous with respect to a perturbation parameter occurring in a singularly perturbed memory kernel. We show that the basin of attraction of these exponential attractors is the entire phase space. The existence of (finite dimensional) global attractors follows. The results are obtained by assuming the nonlinear terms defined on the interior of the domain and on the boundary satisfy standard dissipation assumptions. Also, we work under a crucial assumption that dictates the memory response in the interior of the domain matches that on the boundary.

研究动机与目标

• 分析具有记忆项和动态边界条件的Coleman–Gurtin方程的渐近行为。
• 建立在记忆核扰动参数下具有鲁棒性的指数吸引子的存在性。
• 证明这些指数吸引子的吸引域是整个相空间，从而表明全局吸引子的存在性。
• 确保当扰动参数在[0,1]范围内变化时，指数吸引子的Hölder连续性。
• 将耗散系统理论扩展至同时在内部和边界具有记忆响应的模型，且要求内部与边界记忆响应相匹配。

提出的方法

• 该模型被表述为带有记忆项的抛物型PDE，其在体域和边界上分别由满足 $ \int_0^\infty k(s)ds = 1 $ 的核 $ k(s) $ 所控制。
• 通过引入 $ k_\varepsilon(s) = \frac{1}{\varepsilon}k(\frac{s}{\varepsilon}) $ 的奇异摄动，当 $ \varepsilon \to 0 $ 时趋近于Dirac函数，从而恢复标准的Coleman–Gurtin系统。
• 分析在包含状态变量和记忆历史的Hilbert相空间 $ \mathcal{H}^0_\varepsilon $ 中进行。
• 采用先验估计和能量方法，推导出相空间和记忆空间中的统一有界性，以确保耗散性。
• 应用指数吸引的传递性性质，通过Lyapunov型泛函和Gronwall型不等式构造指数吸引子。
• 通过估计不同 $ \varepsilon $ 对应解之间的差异，证明了鲁棒性，表明吸引子在Hausdorff度量下关于 $ \varepsilon $ 的Hölder连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有记忆项和动态边界条件的Coleman–Gurtin方程是否允许存在有限维指数吸引子？
• RQ2 能否证明此类指数吸引子在记忆核参数 $ \varepsilon \in (0,1] $ 的扰动下具有鲁棒性？
• RQ3 指数吸引子的吸引域是否为整个相空间，从而意味着全局吸引子的存在？
• RQ4 内部记忆响应如何与边界响应相匹配，以确保适定性和长期动力学行为？
• RQ5 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，指数吸引子的正则性和连续性如何，特别是Hölder连续性？

主要发现

• 对于扰动系统解生成的半群，存在一族指数吸引子 $ (\mathbb{M}_\varepsilon)_{\varepsilon \in [0,1]} $。
• 指数吸引子具有鲁棒性，即它们关于扰动参数 $ \varepsilon \in [0,1] $ 的Hölder连续依赖性，确保在记忆核发生微小变化时的稳定性。
• 指数吸引子的吸引域是整个相空间 $ \mathcal{H}^0_\varepsilon $，这表明全局吸引子的存在。
• 全局吸引子是有限维的，因为它被包含在有限维的指数吸引子之中。
• 对于 $ \varepsilon_1 $ 和 $ \varepsilon_2 $ 的解之间的差异，有界于 $ C \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_2} Q(R_1) $，当 $ \varepsilon_1 \to \varepsilon_2 $ 时该界趋于零，从而证实了鲁棒性。
• 在非线性项 $ f(u) $ 和 $ g(u) $ 的标准耗散假设下，以及内部与边界记忆响应之间满足关键匹配条件的前提下，得到了上述结果。