[论文解读] Robust feedback stabilization of N-level quantum spin systems

Weichao Liang, Nina H. Amini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 22被引用 11

一句话总结

本论文提出了一种针对在连续测量下N-级别量子自旋系统的鲁棒反馈控制策略，采用耦合随机主方程来建模真实量子态及其估计态。即使在初始态不确定和物理参数不精确的情况下，该方法也建立了向测量算符目标本征态实现指数稳定的充分条件，并提供了具有量化收敛速率的显式反馈律。

ABSTRACT

In this paper, we consider N-level quantum angular momentum systems interacting with electromagnetic fields undergoing continuous-time measurements. We suppose unawareness of the initial state and physical parameters, entailing the introduction of an additional state representing the estimated quantum state. The evolution of the quantum state and its estimation is described by a coupled stochastic master equation. Here, we study the asymptotic behavior of such a system in presence of a feedback controller. We provide sufficient conditions on the feedback controller and on the estimated parameters that guarantee exponential stabilization of the coupled stochastic system towards an eigenstate of the measurement operator. Furthermore, we estimate the corresponding rate of convergence. We also provide parametrized feedback laws satisfying such conditions. Our results show the robustness of the feedback stabilization strategy considered in [21] in case of imprecise initialization of the estimated state and with respect to the unknown physical parameters.

研究动机与目标

• 在连续时间测量下，解决将N-级别量子自旋系统稳定至测量算符目标本征态的挑战。
• 克服反馈控制设计中因对初始量子态无知和物理参数未知而带来的实验缺陷。
• 确保反馈控制器在量子滤波与控制回路中对估计误差和参数不匹配具有鲁棒性。
• 提供显式反馈律，保证以量化速率实现对目标态的指数收敛。
• 将先前针对自旋-1/2系统的成果扩展至一般N-级别量子角动量系统，并进行严格的稳定性分析。

提出的方法

• 使用耦合随机主方程对真实量子态及其估计态的演化进行建模。
• 引入具有任意初始条件和估计物理参数的估计态，以反映现实世界中的不确定性。
• 基于估计态设计反馈控制器，其依赖于测量过程和估计参数。
• 利用随机李雅普诺夫技术与支撑定理，分析耦合系统的局部与全局稳定性。
• 推导出确保系统指数收敛至目标本征态的反馈律与估计参数的充分条件。
• 提出满足所推导稳定性条件的参数化反馈律（例如形式为(26)和(27)的律）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始态和物理参数未知时，能否在连续测量下实现N-级别量子自旋系统的指数稳定？
• RQ2 反馈控制器的性能如何依赖于估计态和参数的准确性？
• RQ3 反馈律与估计参数需满足何种条件，才能确保耦合系统的全局指数稳定？
• RQ4 在该鲁棒控制策略下，能否量化收敛至目标态的速率？
• RQ5 与先前方法相比，所提出的反馈律在初始值和参数失配方面的鲁棒性如何？

主要发现

• 在反馈控制器和估计参数满足充分条件时，耦合系统可实现向测量算符$J_z$的目标本征态$\boldsymbol{\rho}_{\bar{n}}$的指数稳定。
• 收敛速率通过李雅普诺夫指数$\nu_{\text{av}}$量化，其依赖于实际与估计的测量效率$\eta, \hat{\eta}$及耦合强度$M, \hat{M}$，其中当$\bar{n} \in \{0,2\}$时，$\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\} + 2\sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\left|\sqrt{\eta M} - \sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\right|$；当$\bar{n} = 1$时，$\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$。
• 针对三能级系统（$N=3$，$J=1$）的数值模拟验证了理论收敛速率，黑线（10次样本的平均值）在半对数图中与指数参考曲线（指数为$\nu_{\text{av}}$）一致。
• 速率$\nu_{\text{s}} = \nu_{\text{av}} - \frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$在某些情况下提供更紧的界，且当$\bar{n} = 1$时与$\nu_{\text{av}}$一致。
• 即使初始估计和参数值存在失配，反馈控制器仍保持有效性，表明对初始化和参数不确定性的鲁棒性。
• 形式为(26)和(27)且$\alpha=5$，$\beta=2$的显式反馈律，经仿真验证，可分别成功将系统稳定至$\boldsymbol{\rho}_0$和$\boldsymbol{\rho}_1$。