[论文解读] Robust Fundamental Lemma for Data-driven Control

Jeremy Coulson, Henk van Waarde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2022

Control Systems and Identification被引用 4

一句话总结

本文通过用数据Hankel矩阵的最小奇异值的下界替代二元秩条件，提出了一种鲁棒的、适用于数据驱动控制的 fundamental lemma 的改进版本。通过设计输入以确保最小奇异值足够大，该方法在噪声环境下表现出更强的鲁棒性，并提升了预测控制性能，为传统持久激励条件提供了一种定量替代方案。

ABSTRACT

The fundamental lemma by Willems and coauthors facilitates a parameterization of all trajectories of a linear time-invariant system in terms of a single, measured one. This result plays an important role in data-driven simulation and control. Under the hood, the fundamental lemma works by applying a persistently exciting input to the system. This ensures that the Hankel matrix of resulting input/output data has the "right" rank, meaning that its columns span the entire subspace of trajectories. However, such binary rank conditions are known to be fragile in the sense that a small additive noise could already cause the Hankel matrix to have full rank. Therefore, in this extended abstract we present a robust version of the fundamental lemma. The idea behind the approach is to guarantee certain lower bounds on the singular values of the data Hankel matrix, rather than mere rank conditions. This is achieved by designing the inputs of the experiment such that the minimum singular value of a deeper input Hankel matrix is sufficiently large. This inspires a new quantitative and robust notion of persistency of excitation. The relevance of the result for data-driven control will also be highlighted through comparing the predictive control performance for varying degrees of persistently exciting data.

研究动机与目标

• 为解决经典数据驱动控制方法在噪声数据下因微小扰动导致秩条件失效而产生的脆弱性问题。
• 开发一种经典持久激励条件的定量替代方案，该条件原本为二元且非鲁棒。
• 确保数据Hankel矩阵的最小奇异值维持一个下界，从而提升系统辨识与控制中对噪声的鲁棒性。
• 通过数值案例研究证明，更高的奇异值下界可带来更优的预测控制性能。
• 为数据驱动控制提供一种对数据污染具有鲁棒性的新理论基础，并支持性能保证。

提出的方法

• 提出一种基于输入Hankel矩阵最小奇异值而非满行秩的新定量持久激励概念。
• 推导出输入/状态数据矩阵的最小奇异值被用户定义的阈值 ρ₀ 下界约束的条件。
• 提出一种输入序列的设计准则，使得生成的数据Hankel矩阵满足 σ₁(Θ_z) ≥ ρ₀，从而确保鲁棒性。
• 利用奇异值界限，通过数据矩阵的Moore-Penrose广义逆构造鲁棒的数据驱动预测器。
• 在移动时域预测控制框架中应用该鲁棒数据模型，评估其在噪声环境下的性能。
• 通过引理3.1和定理3.1建立理论保证，将输入设计与数据矩阵的奇异值下界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种持久激励的定量度量，以确保在数据驱动控制中对噪声的鲁棒性？
• RQ2 数据Hankel矩阵的最小奇异值与数据驱动预测控制性能之间有何关系？
• RQ3 何种输入设计策略可确保数据矩阵的最小奇异值维持一个下界？
• RQ4 在存在噪声的情况下，具有更高奇异值下界的生成数据是否能带来更优的控制性能？
• RQ5 经典fundamental lemma能否推广为一种避免脆弱秩条件的鲁棒版本？

主要发现

• 在数值示例中已证明，数据Hankel矩阵具有更高最小奇异值的数据集，可显著提升预测控制性能。
• 随着最小奇异值的减小，控制性能下降：δ(1) = 2.9×10⁻² 时性能最佳，而 δ(3) = 2.9×10⁻⁴ 时性能最差。
• 当 ρ₀ = 0.105 时，理论下界可确保数据矩阵满足稳定预测所需的鲁棒性条件。
• 所提方法可保证数据矩阵的最小奇异值维持一个下界，从而实现鲁棒的系统辨识与控制。
• 该鲁棒基本引理通过用定量、抗噪声的准则替代秩条件，推广了经典结果。
• 数值研究证实，具有更高持久激励程度（较大 δ）的输入可生成更精确、更稳定的基于数据的预测器。