[论文解读] Robust Group Synchronization via Cycle-Edge Message Passing

Gilad Lerman, Yunpeng Shi|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 47被引用 8

一句话总结

本文提出一种基于环路-边消息传递的鲁棒群同步方法，利用环路一致性检测并纠正对抗性或均匀性污染下的损坏群比值。在确定性污染下，当损坏环路比值有界时，实现了精确恢复与线性收敛；在次高斯噪声下具有稳定性，并在均匀污染模型下实现了高概率的精确恢复。

ABSTRACT

We propose a general framework for solving the group synchronization problem, where we focus on the setting of adversarial or uniform corruption and sufficiently small noise. Specifically, we apply a novel message passing procedure that uses cycle consistency information in order to estimate the corruption levels of group ratios and consequently solve the synchronization problem in our setting. We first explain why the group cycle consistency information is essential for effectively solving group synchronization problems. We then establish exact recovery and linear convergence guarantees for the proposed message passing procedure under a deterministic setting with adversarial corruption. These guarantees hold as long as the ratio of corrupted cycles per edge is bounded by a reasonable constant. We also establish the stability of the proposed procedure to sub-Gaussian noise. We further establish exact recovery with high probability under a common uniform corruption model.

研究动机与目标

• 解决在相对测量中存在大规模对抗性或均匀性污染时的群同步挑战。
• 开发一种理论保证的消息传递框架，利用环路一致性识别并纠正损坏的群比值。
• 在损坏环路比值有界的确定性污染条件下，建立精确恢复与线性收敛性。
• 分析方法在次高斯噪声下的稳定性，并推导在均匀污染模型下的高概率精确恢复结果。
• 提供一种适用于紧致群的一般框架，包括 SO(3)、O(2) 和 Z2 等常见情形。

提出的方法

• 提出一种新颖的消息传递过程，利用环路一致性信息估计边上的污染程度。
• 定义一种环路-边消息传递机制，其中消息根据图中环路的一致性检查进行更新。
• 在紧致群 $ \mathcal{G} $ 上使用双不变度量 $ d_{/mathcal{G}} $，并将其归一化为直径 1，以度量距离与误差。
• 将损坏边建模为 $ \tilde{g}_{ij} \neq g_{ij}^* $，将噪声边建模为 $ g_{ij} = g_{ij}^* g_{ij}^\rho $，其中 $ g_{ij}^\rho $ 为次高斯噪声。
• 将同步问题表述为在群图 $ G([n], E_g) $ 连通的假设下，恢复 $ \{g_i^*\} $ 到全局右群作用下的等价类。
• 通过区间 $ I_i $ 对函数空间进行覆盖，以界定度量熵，并推导覆盖数的界，用于浓度分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 环路一致性信息能否被有效利用于检测并纠正同步问题中的损坏群比值？
• RQ2 在确定性对抗性污染模型下，当每条边的损坏环路比例满足何种条件时，可实现精确恢复？
• RQ3 所提出的消息传递过程在次高斯噪声下的行为如何？可建立何种稳定性保证？
• RQ4 在均匀污染模型下，精确恢复的概率是多少？其如何依赖于图结构与污染水平？
• RQ5 该方法能否扩展至一般紧致群（包括 SO(3)、O(2) 和 Z2），并具备理论保证？

主要发现

• 只要每条边的损坏环路比值被常数有界，无论图的大小如何，均可保证精确恢复。
• 在相同的确定性污染条件下，消息传递过程线性收敛至正确解。
• 该方法在次高斯噪声下具有稳定性，恢复误差在群度量下被有界为噪声水平的常数倍。
• 在均匀污染模型下，当污染水平低于与图的连通性及环路结构相关的阈值时，可高概率实现精确恢复。
• 函数类的覆盖数被有界为 $ O\left(\frac{1}{\min_k X_k \varepsilon^2}\right) $，从而支持浓度与误差分析。
• 通过基于区间的函数空间覆盖与利普希茨连续性论证，推导出度量熵与覆盖数的理论界，其对 $ \varepsilon^{-1} $ 的依赖为对数级。