[论文解读] Robust Hedging and Martingale Optimal Transport in Continuous Time
本文在连续时间框架下建立了路径依赖型欧式期权鲁棒对冲与鞅最优传输问题之间的对偶关系，其中基础资产价格被建模为连续过程。它构建了分段常数的超对冲投资组合，渐近地实现了最小超对冲成本，通过动态交易和静态平盘期权提供了一种模型无关的对冲策略，且在给定到期边际分布下成立。
The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.
研究动机与目标
- 在连续时间框架下建立路径依赖型欧式期权鲁棒对冲与鞅最优传输问题之间的对偶关系。
- 构建一族简单且分段常数的超对冲投资组合，使其渐近地实现最小超对冲成本。
- 通过结合标的资产的动态交易与平盘期权的静态头寸，提供一种模型无关的对冲框架。
- 将最小超对冲成本表征为在固定终端边际分布的鞅测度上，具有Monge-Kantorovich类型传输问题的解。
提出的方法
- 将鲁棒对冲问题形式化为：通过动态交易和静态平盘期权，最小化能够对冲路径依赖型欧式期权的组合成本。
- 引入一个对偶问题：在给定终端边际分布的所有鞅测度上，最大化期权的期望收益。
- 利用最优传输理论，建立原始对冲问题与对偶传输问题之间的等价性。
- 构建一族分段常数的超对冲策略，当时间划分趋于精细时，其成本收敛至最小值。
- 应用连续时间随机分析，处理标的资产作为连续半鞅的动力学行为。
- 依赖于鞅传输问题中对偶优化器的存在性，以确保对偶间隙为零。
实验结果
研究问题
- RQ1在连续时间下，鲁棒对冲与鞅最优传输之间的确切对偶关系是什么？
- RQ2是否能够通过一种简单且分段常数的超对冲策略，渐近地实现最小超对冲成本？
- RQ3最小超对冲成本如何与在所有具有固定终端边际分布的鞅测度上的最大期望收益相关联？
- RQ4在未对基础资产设定特定模型的情况下，最优超对冲策略的结构性质是什么？
- RQ5在连续时间设定下，对冲与传输之间的对偶性在何种条件下成立？
主要发现
- 在鲁棒对冲问题与鞅最优传输问题之间建立了完整的对偶关系，且不存在对偶间隙。
- 最小超对冲成本被表征为在所有具有给定终端边际分布的鞅测度上，期望收益的上确界。
- 构建了一族分段常数的超对冲策略，当时间划分趋于精细时，其成本渐近收敛至最小值。
- 对偶问题被证明为一种Monge-Kantorovich类型的传输问题，其目标是在鞅约束下最大化期权收益。
- 超对冲策略的构造是显式且计算上可行的，仅依赖于动态对冲和平盘期权。
- 结果在最小假设下成立，仅需基础资产价格过程的连续性。
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