[论文解读] Robust Kalman Filtering Under Model Uncertainty: the Case of Degenerate Densities

Shenglun Yi, Mattia Zorzi|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2021

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在模型不确定性下针对退化（低秩）转移密度的状态估计鲁棒卡尔曼滤波框架。通过在基于相对熵定义的模糊集上构建极小化-极大化博弈，该方法推导出一种低秩、风险敏感的类似黎卡提（Riccati）的迭代算法，保持了数值稳定性，并在高维或退化场景下优于标准卡尔曼滤波器。

ABSTRACT

We consider a robust state space filtering problem in the case that the transition probability density is unknown and possibly degenerate. The resulting robust filter has a Kalman-like structure and solves a minimax game: the nature selects the least favorable model in a prescribed ambiguity set which also contains non-Gaussian probability densities, while the other player designs the optimum filter for the least favorable model. It turns out that the resulting robust filter is characterized by a Riccati-like iteration evolving on the cone of the positive semidefinite matrices. Moreover, we study the convergence of such iteration in the case that the nominal model is with constant parameters on the basis of the contraction analysis in the same spirit of Bougerol. Finally, some numerical examples show that the proposed filter outperforms the standard Kalman filter.

研究动机与目标

• 解决标准卡尔曼滤波器在高维或退化系统中协方差矩阵变为不定时的失效问题。
• 将鲁棒卡尔曼滤波扩展至转移密度可能退化的情形，使其适用于天气预报与海洋学等应用。
• 构建一种极小化-极大化滤波框架，通过基于相对熵的模糊集来考虑模型不确定性，该模糊集包含非高斯与退化密度。
• 在系统参数恒定的条件下，利用压缩映射分析确保滤波器的数值稳定性与收敛性。
• 推导出最不利模型与一种鲁棒滤波结构，将风险敏感滤波推广至低秩情形。

提出的方法

• 将鲁棒滤波问题表述为极小化-极大化博弈：自然选择模糊集中的最不利模型，而滤波设计者则针对该模型进行优化。
• 将模糊集定义为围绕名义高斯模型的Kullback-Leibler球，通过相对熵约束允许退化密度的存在。
• 解析推导出最不利模型，表明仅状态协方差矩阵被扰动，而均值与交叉协方差保持不变。
• 提出一种在正半定矩阵锥上演化的低秩、风险敏感的黎卡提迭代，其迭代结构经调整以处理退化情形。
• 采用Bougerol风格的压缩映射分析，在可稳定化、可观测性及模糊集足够小的条件下，证明鲁棒滤波器的收敛性。
• 应用矩阵分解（如SVD）以处理低秩结构，确保滤波器在高维系统中仍保持计算可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将鲁棒卡尔曼滤波扩展至具有退化（低秩）转移密度的系统？
• RQ2 在存在模型不确定性与退化密度时，最不利模型的结构是什么？
• RQ3 能否设计一种鲁棒滤波器，使其在名义模型参数恒定且模糊集较小时，仍保持稳定与收敛？
• RQ4 在模型失配条件下，所提滤波器在估计精度方面与标准卡尔曼滤波器相比如何？
• RQ5 在退化情形下，何种条件可确保鲁棒黎卡提迭代的收敛性？

主要发现

• 所提出的鲁棒滤波器具有类似卡尔曼的结构，其特征为在正半定矩阵锥上演化的类似黎卡提的迭代，即使在转移密度退化时亦成立。
• 最不利模型被证明仅扰动状态协方差矩阵，而保持均值与交叉协方差不变，从而简化了鲁棒设计。
• 在可稳定化、可观察性（针对可到达子空间）以及模糊集足够小的条件下，鲁棒滤波器的收敛性得到保证。
• 该滤波器在数值上稳定，并在涉及高维或退化系统的数值实验中优于标准卡尔曼滤波器。
• 该鲁棒滤波器对应于一种低秩风险敏感黎卡提迭代，该方法在文献中尚属首次提出，通过伪逆与子空间投影处理退化情形。
• 相对熵约束确保模糊集包含非高斯与退化密度，使该框架适用于天气预报等实际问题。